最小化删除 2i-1 数组元素以清空给定数组的操作

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的数组，其中包含 $1, 2, \dots, 2n$ 的所有正整数，但是顺序是随机的。你可以执行以下操作：

• 选择 $2i-1$ 的元素并删除它。
• 如果 $2i-1$ 已经被删除，则选择 $2i$ 的元素并删除它。

你需要通过选择适当的顺序最小化删除所需的元素数以使数组完全清空。

求解思路

这是一道经典题目，可以使用贪心算法求解。

首先，可以观察到，对于 $2i-1$ 和 $2i$，它们肯定要么都被删除，要么都不被删除。因此，我们可以选择删除一个 $2i-1$ 或 $2i$，而不是两个都删除。

接下来考虑如何选择。对于一个位置 $i$，如果 $2i-1$ 和 $2i$ 都没有被删除，那么我们肯定会选择删除 $2i-1$，因为这样可以得到更多的选择。如果 $2i-1$ 已经被删除，那么肯定会选择删除 $2i$。

因此，可以先将数组按从大到小的顺序排序，然后依次选择删除。如果当前位置上的元素已经被删除，就跳过它。

具体实现细节可以参考下面的代码。

代码实现

def minimize_operation(n, a):
    # 从大到小排序
    a.sort(reverse=True)
    # 记录哪些数已经被删除
    deleted = [False] * (2 * n + 1)
    # 记录删除的次数
    cnt = 0
    for x in a:
        # 如果当前数已经删除，就跳过
        if deleted[x]:
            continue
        # 删除当前数
        deleted[x] = True
        cnt += 1
        # 如果当前数是奇数，还需要删除它对应的偶数
        if x % 2 == 1:
            y = x + 1
        else:
            y = x - 1
        # 如果对应的数没有被删除，就删除它
        if not deleted[y]:
            deleted[y] = True
    return cnt

复杂度分析

排序的复杂度为 $O(n \log n)$。遍历数组的复杂度为 $O(n)$。因此，总的时间复杂度为 $O(n \log n)$。这是一个渐进意义下的最优复杂度。