最小化减法，然后是使所有数组元素相等所需的相邻元素的增量

介绍

在一维数组中，最小化其元素之间的差异是一个经典问题。这种问题可以通过一些算法来解决，其中包括计算数组元素之间的最大值和最小值、计算数组元素之间的平均值等。在这里，我们探讨了一种常见的算法，该算法通过最小化减法来获得数组元素之间的差异，并计算实现这种最小化差异所需的相邻元素的增量。

算法思路

给定一个由 $n$ 个正整数组成的一维数组 $a$，我们的目标是对其进行一系列操作，以使所有数组元素相等。我们可以使用以下步骤来实现这一目标：

1. 使用数组元素的平均值 $\bar{a}$ 计算数组中每个元素与其平均值之间的差值：$$d_i = a_i - \bar{a}$$
2. 我们希望使每个元素 $a_i$ 成为最终数组的相同值 $k$，因此我们需要计算每个元素 a[i] 的增量：$$incr_i = k - a_i$$
3. 我们将数组 $a$ 中的每个元素添加增量，以将其值增加到 $k$：$$a_i + incr_i = k$$
4. 如果我们将上述方程组中的所有增量 ${incr_i}$ 相加，我们可以得到该数组的总增量：$$\sum_{i=1}^n incr_i = n \cdot k - \sum_{i=1}^n a_i$$
5. 为了最小化该数组的增量，我们需要最小化上述方程组中的总增量。这意味着我们需要最小化 $n \cdot k - \sum_{i=1}^n a_i$，即最大化 $\sum_{i=1}^n a_i$。

我们可以通过排序数组 $a$ 并计算相邻元素之间的差异来最小化 $\sum_{i=1}^n a_i$。最小的差异将是数组 $a$ 的最大值和最小值之间的差异。

实现

以下是使用 Python 语言实现上述算法的代码：

def min_increment(arr):
    # 计算数组元素之间的平均值
    mean = sum(arr) // len(arr)
    
    # 每个元素与其平均值之间的差值
    diffs = [a - mean for a in arr]
    
    # 最终数组的相同值
    k = max(arr)
    
    # 每个元素的增量
    incrs = [k - a for a in arr]
    
    # 计算数组的总增量
    total_incr = len(arr) * k - sum(arr)
    
    # 最小化增量，即最大化相邻元素之间的差异
    diffs.sort()
    min_diff = diffs[-1] - diffs[0]
    
    # 返回最小化的增量
    return total_incr + min_diff

以上代码首先计算数组的平均值，并将每个元素与其平均值之间的差值存储在 diffs 中。接下来，我们将目标元素值的增量存储在 incrs 中，并计算该数组的总增量。最后，我们对数组进行排序，并计算可能的最小差异。

尽管我们的示例代码使用了 Python 语言，但是这一算法可以应用于任何具有一维数组的编程语言中。