最多插入 K 次后，最小化相邻元素的最大差异

问题描述：给定一个长度为 n 的数组 nums 和一个整数 k，你可以在最多 k 次操作中将任意一个元素插入到数组中。需要最小化相邻元素的最大差异，返回最小的最大差异。

算法思路

此问题可以转化为一个二分搜索问题。因为我们要找到最小化相邻元素的最大差异，而最大差异是有一个范围的，即介于数组中的最小值和最大值之间，那么我们可以将这个范围看成搜索的区间，然后在这个区间内进行二分搜索，取区间的中点 mid，计算出最小的最大差异是否小于当前值。如果小于，则说明 mid 右侧的所有值都不可能是最终结果，搜索左侧区间。如果不小于，则说明可能存在比 mid 更大的结果，搜索右侧区间。直到搜索区间的长度为 1，此时的数即为答案。

在判断最小的最大差异是否小于某个数的时候，我们可以使用贪心算法来解决问题。我们将当前的最大差异设为 mid，从数组的左起第一个元素开始遍历，每个位置都与左侧的位置比较，得出相邻元素的差异。如果差异大于 mid，则表示当前位置不能插入元素，直接跳过，进入下一个位置。如果差异小于等于 mid，则表示可以在这个位置插入一个元素，这个元素应该尽可能的小，即插入左侧位置所在的值加 mid，更新最小的最大差异。如果最多操作次数小于 k 时，就继续操作数组的右部分，直到修改 k 次。

时间复杂度

本算法中，进行了一次二分搜索，搜索范围是最小值到最大值的区间，因此时间复杂度为 $O(n\log(max-min))$，其中 max 和 min 分别是数组 nums 中的最大值和最小值。

代码实现

Python 代码实现如下:

from typing import List


class Solution:
    def minimum(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        # 初始化二分的起点和终点
        l, r = 0, max(nums) - min(nums)

        # 二分搜索
        while l < r:
            mid = (l + r) // 2
            cnt = 0
            curr_min = float("inf")
            curr_max = float("-inf")
            prev = nums[0]

            for i in range(1, len(nums)):
                if nums[i] - prev > mid:
                    curr_min = min(curr_min, prev)
                    curr_max = max(curr_max, prev)
                    cnt += 1
                    prev = nums[i]
                else:
                    prev = min(prev, nums[i])

            curr_min = min(curr_min, prev)
            curr_max = max(curr_max, prev)

            if cnt + k >= len(nums) or curr_max - curr_min <= mid:
                r = mid
            else:
                l = mid + 1

        return l

总结

二分搜索是常用的算法之一，可以解决很多搜索问题，尤其在区间上有单调性的情况下表现更显著。此算法基于贪心和二分搜索，时间复杂度较低，可以得到很好的效果。