如何使用分治法找到总和最大的子数组 - C++

什么是分治法

分治法，英文名为Divide and Conquer algorithm，是指把一个大问题分解成许多小问题来解决的算法。分治法通常包含三个步骤：

1. 分解：将原问题分解成若干个子问题。这些子问题互相独立，且与原问题形式相同。

2. 解决：递归地求解每个子问题。当子问题足够小的时候，直接求解。

3. 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。

如何使用分治法找到总和最大的子数组

问题描述

给定一个长度为n的整数数组，找到该数组中的一个连续子数组，使得该子数组的元素之和最大。

例如，对于数组[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，其最大子数组为[4,-1,2,1]，其和为6。

算法思路

使用分治法的思路，把数组分为左、右两部分，左部分的最大子数组、右部分的最大子数组、跨越中间的最大子数组三个情况比较，取最大值即为解。

具体实现过程如下：

1. 将原始数组分成左、右两个数组。

2. 对左、右两个数组递归计算其最大子数组。

3. 分别从左、右数组向中间扫描，计算跨越中间的最大子数组。

4. 对三个情况求解最大值，即为所求的最大子数组。

C++代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

vector<int> findMaxCrossingSubarray(vector<int>& v, int low, int mid, int high) {
    int left_sum = INT_MIN;
    int sum = 0;
    int max_left;
    for (int i = mid; i >= low; i--) {
        sum += v[i];
        if (sum > left_sum) {
            left_sum = sum;
            max_left = i;
        }
    }

    int right_sum = INT_MIN;
    sum = 0;
    int max_right;
    for (int j = mid + 1; j <= high; j++) {
        sum += v[j];
        if (sum > right_sum) {
            right_sum = sum;
            max_right = j;
        }
    }

    return { max_left, max_right, left_sum + right_sum };
}

vector<int> findMaximumSubarray(vector<int>& v, int low, int high) {
    if (low == high) return { low, high, v[low] };
    else {
        int mid = (low + high) / 2;
        vector<int> leftResult = findMaximumSubarray(v, low, mid);
        vector<int> rightResult = findMaximumSubarray(v, mid + 1, high);
        vector<int> crossResult = findMaxCrossingSubarray(v, low, mid, high);
        if (leftResult[2] >= rightResult[2] && leftResult[2] >= crossResult[2])
            return leftResult;
        else if (rightResult[2] >= leftResult[2] && rightResult[2] >= crossResult[2])
            return rightResult;
        else
            return crossResult;
    }
}

int main() {
    vector<int> v = { -2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4 };
    vector<int> result = findMaximumSubarray(v, 0, v.size() - 1);
    int sum = result[2];
    cout << "The maximum subarray is: ";
    for (int i = result[0]; i <= result[1]; i++)
        cout << v[i] << ", ";
    cout << "and the sum is: " << sum << endl;

    return 0;
}

代码解释：

1. findMaxCrossingSubarray函数实现了求解跨越中间的最大子数组的逻辑。

2. findMaximumSubarray函数是主要逻辑的入口，分别递归计算左、右数组的最大子数组，以及跨越中间的最大子数组，再根据三者的大小关系返回最大值。

3. 在main函数中，给出了一个示例数组，并输出了其最大子数组的值。