分治递归的高级主定理

主定理用于根据渐近符号确定算法(分治算法)的运行时间。
考虑使用递归解决的问题。

function f(input x size n)
if(n < k)
solve x directly and return 
else
divide x into a subproblems of size n/b
call f recursively to solve each subproblem
Combine the results of all sub-problems

上述算法将问题划分为大小为 n/b的子问题，并递归求解它们以计算问题，为问题所做的额外工作由 f(n) 给出，即创建子问题并组合它们的时间导致上述过程。

因此，根据主定理，上述算法的运行时间可以表示为：

T(n) = aT(n/b) + f(n)

其中 n = 问题的大小
a = 递归中子问题的数量且 a >= 1
n/b = 每个子问题的大小
f(n) = 在递归调用之外完成的工作成本，例如划分子问题和组合它们以获得解决方案的成本。

并非所有递推关系都可以使用主定理来解决，即如果

T(n) 不是单调的，例如：T(n) = sin n
f(n) 不是多项式，例如：T(n) = 2T(n/2) + 2 ⁿ

该定理是主定理的高级版本，如果递归具有以下形式，则可用于确定分治算法的运行时间：-

其中 n = 问题的大小
a = 递归中子问题的数量且 a >= 1
n/b = 每个子问题的大小
b > 1, k >= 0 并且 p 是实数。

然后，

如果 a > b ^k ，则 T(n) = θ(n ^log _^b ^a )
如果 a = b ^k ，则
(a) 如果 p > -1，则 T(n) = θ(n ^log _^b ^a log ^p+1 n)
(b) 如果 p = -1，则 T(n) = θ(n ^log _^b ^a loglogn)
(c) 如果 p < -1，则 T(n) = θ(n ^log _^b ^a )
如果 a < b ^k ，则
(a) 如果 p >= 0，则 T(n) = θ(n ^k log ^p n)
(b) 如果 p < 0，则 T(n) = θ(n ^k )

时间复杂度分析——

示例 1：二分搜索 – T(n) = T(n/2) + O(1)
a = 1, b = 2, k = 0 和 p = 0
b ^k = 1。因此，a = b ^k且 p > -1 [情况 2.(a)]
T(n) = θ(n ^log _^b ^a log ^p+1 n)
T(n) = θ(logn)
示例 2：归并排序 – T(n) = 2T(n/2) + O(n)
a = 2, b = 2, k = 1, p = 0
b ^k = 2。因此，a = b ^k且 p > -1 [情况 2.(a)]
T(n) = θ(n ^log _^b ^a log ^p+1 n)
T(n) = θ(nlogn)
示例 3： T(n) = 3T(n/2) + n ²
a = 3, b = 2, k = 2, p = 0
b ^k = 4。因此，a < b ^k且 p = 0 [案例 3.(a)]
T(n) = θ(n ^k log ^p n)
T(n) = θ(n ² )
示例 4： T(n) = 3T(n/2) + log ² n
a = 3, b = 2, k = 0, p = 2
b ^k = 1。所以，a > b ^k [案例 1]
T(n) = θ(n ^log _^b ^a )
T(n) = θ(n ^log _² ³ )
示例 5： T(n) = 2T(n/2) + nlog ² n
a = 2, b = 2, k = 1, p = 2
b ^k = 2。所以，a = b ^k [案例 2.(a)]
T(n) = θ(n ^log _^b ^a log ^p+1 n )
T(n) = θ(n ^log _² ² log ³ n)
T(n) = θ(nlog ³ n)
示例 6： T(n) = 2 ⁿ T(n/2) + n ⁿ
使用上述方法无法解决此递归问题，因为函数不是 T(n) = aT(n/b) + θ(n ^k log ^p n) 形式

GATE 练习题——

GATE-CS-2017(套装2)|第 56 题
门 IT 2008 |第 42 题
GATE CS 2009 |第 35 题