最小化与给定数组元素进行XOR运算的K

问题背景

给定一个非空且仅包含正整数的数组nums和一个正整数k，找出一个数m使得minimize(nums[i] XOR m) for i in range(len(nums)))，同时满足m XOR k <= m，其中XOR表示按位异或运算符。

解题思路

暴力枚举

一个简单的解法是对于每个数m，计算其与所有nums[i]的异或值，找到其中的最小值，最后比较m XOR k与m的大小关系，确定答案是否合法。时间复杂度为O(n^2)，对于数据规模较小的情况可以接受。

Trie树

稍微优化一下暴力枚举的做法，可以通过记录nums数组中的所有数的二进制位构成的Trie树，简化每个数与nums[i]异或的计算。具体来说，对于每个数num，将其从高到低的二进制位插入到Trie树中，同时记录对应的终端节点的路径（0表示当前位为0，1表示为1），表示num对应为止的异或结果。对于每个m，则按照Trie树的规则，从高到低遍历所有对应的位，根据异或结果是否为1，在Trie树中选择相应方向的子节点进行遍历，在到达终端节点时，即可得到m与num异或的结果，从而比较得到最小值。时间复杂度为O(nlogm)，其中m为数组nums中最大数的二进制位数。

位运算

利用异或的性质x XOR y = z => x XOR z = y，可知对于任意的m和num，有m XOR num XOR num = m。因此，将所有的nums[i]插入到一个Trie树中，然后从高到低遍历所有的m的二进制位，对于每一位，选择让异或结果为0的方向（即num的当前位为m的当前位的取反），如果不存在这样的方向，就只能选择异或结果为1的方向。这个过程可以通过记录Trie树中0和1方向的节点个数来实现。代码如下：

class Solution:
    def __init__(self):
        self.trie = {}
        self.max_bit = 31    # 假设最大数只有31位
        self.nodes = [[0, 0] for _ in range(self.max_bit + 1)]

    def findMaximumXOR(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        for num in nums:
            node = self.trie
            for i in range(self.max_bit, -1, -1):
                bit = (num >> i) & 1
                if bit not in node:
                    node[bit] = {}
                node = node[bit]

        max_xor = 0
        for num in nums:
            node = self.trie
            xor = 0
            for i in range(self.max_bit, -1, -1):
                bit = (num >> i) & 1
                if self.nodes[i][bit ^ 1] > 0:
                    node = node[bit ^ 1]
                    xor += (1 << i)
                else:
                    node = node[bit]
            max_xor = max(max_xor, xor)

        if k != 0:
            node = self.trie
            xor = 0
            for i in range(self.max_bit, -1, -1):
                bit = (k >> i) & 1
                if self.nodes[i][bit] > 0:
                    node = node[bit]
                    xor += (bit << i)
                else:
                    node = node[bit ^ 1]
                    xor += ((bit ^ 1) << i)
            if xor ^ k <= xor:
                max_xor = max(max_xor, xor ^ k)

        return max_xor

参考链接

• LeetCode 题目