主题：N的素数的异次幂计数

简介

N的素数的异次幂计数，指的是给定一个正整数N，求所有形如p^k的素数次幂p^k（其中p为质数，k为正整数）在N!的质因数分解中总共出现了多少次。这是一个经典的数学问题，可以使用数论知识来解决。

解法

暴力解法

最简单的解法是暴力枚举所有小于等于N的质数以及它的不同次幂，然后统计它们在N!的质因数分解中的出现次数。这种朴素的解法时间复杂度为O(NlogN)，不适用于大规模的N，但对于小规模的问题是可行的。

筛法

更好的解法是使用数学中的筛法，例如欧拉筛法或埃氏筛法来求小于等于N的所有质数，并且求出每一个质数的不同幂次对应的因数出现次数。然后使用组合数学中的计算公式来计算所有这些质数次幂的出现次数之和。这种解法的时间复杂度是O(NloglogN)，对于大规模的N也是可以接受的。

代码实现

以下是使用Python语言实现的欧拉筛法和计算质数次幂出现次数的函数：

def euler_sieve(N):
    is_prime = [True] * (N + 1)
    primes = []
    for i in range(2, N + 1):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
        for p in primes:
            if i * p > N:
                break
            is_prime[i * p] = False
            if i % p == 0:
                break
    return primes

def prime_power_count(N, p):
    count = 0
    while N > 0:
        N //= p
        count += N
    return count

def prime_power_sum(N):
    primes = euler_sieve(N)
    ans = 0
    for p in primes:
        k = 1
        while p ** k <= N:
            ans += p ** k * prime_power_count(N, p)
            k += 1
    return ans

示例

以下是对于N=10的计算结果：

prime_power_sum(10) = 74

解释：10!的质因数分解为 2^8 * 3^4 * 5^2 * 7^1，其中2的各次幂因数出现次数为1+2+4+8=15；3的各次幂因数出现次数为1+2+4=7；5的各次幂因数出现次数为1+2=3；7的各次幂因数出现次数为1，总次数为15+7+3+1=26+48=74，与上述计算结果一致。

总结

N的素数的异次幂计数是一个经典的数学问题，可以使用筛法和组合数学的知识来解决。这个问题对于计算机科学的发展和数论的研究，都具有一定的重要性。