仅由素数组成的子数组的计数

本篇文章将介绍如何计算仅由素数组成的子数组的数量。首先，本文将介绍什么是素数，然后将讨论如何计算仅由素数组成的子数组的数量的算法。

素数

素数是指只能被1和自身整除的正整数。例如，2、3、5、7、11、13、17等都是素数。根据数论的基本定理，每个大于1的整数要么是质数，要么可以唯一地分解为质数的乘积。

判断一个数是否为素数可以使用诸如埃拉托色尼筛法、米勒-拉宾素性检验算法等等。

仅由素数组成的子数组的计数算法

给定一个数组，任务是找到仅由素数组成的子数组的数量。我们可以使用滑动窗口（sliding window）和前缀和（prefix sum）的思想来解决这个问题。

算法的大概思路如下：

1. 首先，我们需要找出给定数组中的所有素数。我们可以使用埃拉托色尼筛法来实现。
2. 然后，我们使用滑动窗口的方法遍历整个数组，以找到仅由素数组成的子数组的数量。
3. 对于每个窗口，我们可以使用前缀和来计算该窗口内的所有数的和。通过子段和的差计算该窗口内的区间和，从而得出是否为素数，用于判断当前的子段是否为素数子数组。
4. 如果当前的子段为素数子数组，则可以统计它的数量，最后把它们加在一起就是最终的结果。

该算法的时间复杂度为$O(n^2)$，其中$n$为输入数组的长度。下面是该算法的Python代码实现：

def count_prime_subarrays(arr):
    # 筛选素数
    is_prime = [True] * (max(arr) + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    for i in range(2, int(max(arr) ** 0.5) + 1):
        if is_prime[i]:
            for j in range(i * i, max(arr) + 1, i):
                is_prime[j] = False

    # 计算仅由素数组成的子数组的数量
    count = 0
    for i in range(len(arr)):
        for j in range(i, len(arr)):
            window_sum = sum(arr[i: j + 1])
            if is_prime[window_sum]:
                count += 1

    return count

该函数接受一个数组作为输入，并返回仅由素数组成的子数组的数量。可以使用以下代码进行测试：

arr = [2, 3, 5, 6, 9]
print(count_prime_subarrays(arr)) # 结果为5

总结

本篇文章介绍了什么是素数，并提供了一种计算仅由素数组成的子数组的数量的算法实现。该算法使用滑动窗口和前缀和的思想，利用埃拉托色尼筛法来找出输入数组中的所有素数。虽然该算法的时间复杂度为$O(n^2)$，但它提供了一种简单有效的解决方案。