居中的十九边形数

十九边形是一种多边形，它有19条边和19个顶点，属于高阶多边形。而居中的19边形更加特殊，因为它具有对称性，中心点为一点，该点到任意一顶点的距离相等，而且每个顶点之间的距离也相等。

居中的19边形虽然不像三角形、四边形那样常见，但它在数学领域中有应用，因为这个形状有一个特殊的性质：可以用一个数列来表示所有与中心点相连的顶点坐标。

数列

一个居中的19边形可以用一个数列来表示所有与中心点相连的顶点坐标，即：

$$ z_n = e^{i\theta n}, :: 0 \le n \le 18 ::\textrm{and}:: \theta = \frac{2\pi}{19} $$

其中 $i$ 为虚数单位，这个数列被称为“高斯和”，它在复平面上的表现是一个闭合的多边形，每个顶点坐标即为相应的数列项。

该数列也可以用 $cos$ 和 $sin$ 函数表示：

$$ z_n = \cos\left(\frac{2\pi n}{19}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi n}{19}\right), :: 0 \le n \le 18 $$

程序实现

我们可以用各种编程语言来实现计算和绘制居中的19边形。以下是Python语言的实现示例：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n = 19
theta = 2 * np.pi / n
z = np.exp(1j * theta * np.arange(n))
z_real = np.real(z)
z_imag = np.imag(z)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(z_real, z_imag, '-o', linewidth=2)
ax.set_aspect(1)
ax.set_title('Regular 19-gon')

plt.show()

以上代码使用Numpy库计算高斯和，使用Matplotlib库绘制多边形，程序运行后会弹出一个窗口显示绘制结果。

除了Python，我们还可以使用其他编程语言如Java、C++等实现相同的功能。