查找时间复杂度的Akra-Bazzi方法

Akra-Bazzi 方法是求解递归式时间复杂度的一种方法，适用于分治算法，但不适用于 回溯算法、动态规划算法等。这种方法需要确定一个变量 p 以及其余式子（例如 g(n) ），然后通过求解一个积分表达式来得到递归式的时间复杂度。

具体实现步骤

1. 观察递归式，确定变量 p 和其余式子 g(n)
2. 假设递归式的时间复杂度为 T(n)
3. 按照以下公式求解积分：

     b
     ∫(a) {g(u)[T(u)]^p du}
     a

     其中，a 、 b 为积分上下界。

4. 如果积分值连续 k 次为 0，则递归式的时间复杂度为：

           n
     T(n) = E [(c i n^i) g(n)]
          i=0
           n
        +  O(n^p log^k n)
          i=p+1

示例

假设要求解以下递归式的时间复杂度：

    T(n) = 2T(n/2) + n log n

可以观察到变量 p 可以取 1 ，其余式子 g(n) 为 nlogn。即：

    p = 1
    g(n) = nlogn

则按照上述步骤求解积分表达式：

      b
      ∫(a) {g(u)[T(u)]^p du}
      a

   = ∫(1) {u logu [(2u)log(2u)]}

直接求解这个积分式非常困难，但是可以使用数值积分（例如 Simpson 积分法）求出近似解。这里假设积分值为 140。

然后我们可以使用前述公式计算时间复杂度：

          n
    T(n) = E [(c i n^i) g(n)]
         i=0
          n
         +  O(n^p log^k n)
         i=p+1

    = n log n + n log 2 + O(n)

此处的 O(n) 表示常数项，可以忽略不计。

因此，该递归式的时间复杂度为 T(n) = O(n log n)。

总结

Akra-Bazzi 方法适用于分治算法的时间复杂度求解，但对于其他类型的递归式可能无法求解。该方法需要通过观察递归式，选择变量 p 和其余式子 g(n)，然后通过积分表达式计算时间复杂度。最后，需要使用前述公式计算实际时间复杂度。