使给定矩阵回文所需的最小增量

问题描述

给定一个矩阵。你可以在任何一个位置增加任何一个数字。求使这个矩阵回文所需的最小增量。

示例

输入:

matrix = [
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6],
  [7, 8, 9],
]

输出:

5

解释:

通过增加如下的数字可以使得矩阵成为一个回文矩阵：

[
  [1, 2, 1],
  [4, 5, 4],
  [7, 8, 7],
]

所需增加的数字：1+1+4+4+5=5

解决方案

首先，矩阵的回文性质可以表示为矩阵的对称性。对于一个 n x n 的矩阵，只需要满足矩阵的左上到右下对角线两侧对称，即可使得矩阵成为一个回文矩阵。

因此，我们可以通过遍历矩阵左上到右下对角线两侧，比较对应位置的数字，计算出所需的增量。

具体步骤如下：

1. 遍历矩阵的左上到右下对角线两侧，比较对应位置的数字，记录不同位置的数量。
2. 如果矩阵的大小为奇数，则矩阵左上到右下对角线上有一个数字只被比较了一次，需要将其转换为对称位置的数字。
3. 返回所需增量的总和。

代码实现

def make_palindrome(matrix: List[List[int]]) -> int:
    n = len(matrix)
    count = 0
    for i in range(n // 2):
        for j in range(n // 2):
            if matrix[i][j] != matrix[n - 1 - i][n - 1 - j]:
                count += 1
    if n % 2 != 0 and matrix[n // 2][n // 2] != matrix[n // 2][n // 2]:
        count += 1
    return count

时间复杂度

遍历矩阵的左上到右下对角线两侧，时间复杂度为 O(n^2/4)。去除常数项，时间复杂度为 O(n^2)。

空间复杂度

只需要常数个变量记录增量，空间复杂度为 O(1)。

总结

本题是一道比较简单的数组操作题目，通过遍历数组左上到右下对角线两侧，比较对称位置的值，即可求出所需增量的总和。