使给定的矩阵回文所需的最少替换解决方案

问题描述

给定一个 $m \times n$ 的矩阵，矩阵中的元素为小写字母，现在需要最少替换几个元素，使得该矩阵从左往右，从上往下读与从右往左，从下往上读均为回文字符串。

解决方案

思路

题目要求最少替换几个元素，使得该矩阵回文。我们可以通过另外一种思路来解决这个问题。

我们可以将矩阵分成两个部分，一个是上半部分，另一个是下半部分。共同的中心行可以被包含在两个部分中的任意一个之中。

这样的话，我们的问题就被转化为了，如何在保留中心行不变的情况下，让上半部分与下半部分回文。

解决这个问题的方法是，分别在上半部分与下半部分中，维护一个哈希表。我们可以计算出每一列所包含的每个小写字母的出现次数。然后我们可以用这个哈希表来补全那些没有出现过的字母。

然后我们可以枚举中心行，通过哈希表求出上半部分与下半部分的回文串需要替换的元素数。最后我们就可以得到最少替换的次数。

代码实现

def min_replace_to_palindrome(matrix):
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    counts = [{} for _ in range((m+1)//2)]
    for i in range(m):
        for j in range(n):
            curr = matrix[i][j]
            if i >= m//2:
                i = m-1-i
            if curr not in counts[i]:
                counts[i][curr] = 0
            counts[i][curr] += 1

    res = float('inf')
    center = m // 2
    for i in range(m):
        tmp_res = 0
        for j in range(center):
            if matrix[j][i] != matrix[m-j-1][i]:
                count1 = counts[j][matrix[m-j-1][i]] if matrix[m-j-1][i] in counts[j] else 0
                count2 = counts[j][matrix[j][i]] if matrix[j][i] in counts[j] else 0
                count3 = counts[m-j-1][matrix[j][i]] if matrix[j][i] in counts[m-j-1] else 0
                count4 = counts[m-j-1][matrix[m-j-1][i]] if matrix[m-j-1][i] in counts[m-j-1] else 0
                tmp_res += 2 - (count1 + count2 + count3 + count4)
        if m % 2:
            row = matrix[center]
            for j in range(n//2):
                if row[j] != row[n-j-1]:
                    count1 = counts[center][row[n-j-1]] if row[n-j-1] in counts[center] else 0
                    count2 = counts[center][row[j]] if row[j] in counts[center] else 0
                    tmp_res += 2 - (count1 + count2)
        res = min(res, tmp_res)
    return res

代码详解：

首先我们计算出每个列中出现每个字符的次数，具体的操作可以通过使用字典，遍历整个矩阵，统计每一列各个字符出现的次数。

counts = [{} for _ in range((m+1)//2)]
for i in range(m):
    for j in range(n):
        curr = matrix[i][j]
        if i >= m//2:
            i = m-1-i
        if curr not in counts[i]:
            counts[i][curr] = 0
        counts[i][curr] += 1

接下来，我们使用一个 tmp_res 来记录某一条中心线时上下两部分需要替换的最小次数。我们遍历所有可能的中心行，最后得到最小的替换次数。

res = float('inf')
center = m // 2
for i in range(m):
    tmp_res = 0
    for j in range(center):
        # 按列来比较上下两部分的元素
        if matrix[j][i] != matrix[m-j-1][i]:
            count1 = counts[j][matrix[m-j-1][i]] if matrix[m-j-1][i] in counts[j] else 0
            count2 = counts[j][matrix[j][i]] if matrix[j][i] in counts[j] else 0
            count3 = counts[m-j-1][matrix[j][i]] if matrix[j][i] in counts[m-j-1] else 0
            count4 = counts[m-j-1][matrix[m-j-1][i]] if matrix[m-j-1][i] in counts[m-j-1] else 0
            tmp_res += 2 - (count1 + count2 + count3 + count4)
    # 如果矩阵是奇数行，则需要考虑中心行的元素
    if m % 2:
        row = matrix[center]
        for j in range(n//2):
            if row[j] != row[n-j-1]:
                count1 = counts[center][row[n-j-1]] if row[n-j-1] in counts[center] else 0
                count2 = counts[center][row[j]] if row[j] in counts[center] else 0
                tmp_res += 2 - (count1 + count2)
    res = min(res, tmp_res)
return res

以上就是我们的实现方案，可以通过测试用例来验证我们设计的最少替换次数方案。