最小化将数组划分为每个组的元素之和的平方和

问题描述

假设有一个长度为n的非负整数数组nums和一个整数k。我们希望将数组nums划分为k组，并将每个子数组的元素求和，然后再将这些和的平方和最小化。

例如，假设nums = [1,2,3,4,5]，k = 3，则一种最优划分方式为[1,2]，[3,4]，[5]，所得的和的平方和为(3^2 + 7^2 + 5^2) = 83。

解决方案

这是一个NP-hard问题，但我们可以采用动态规划来解决。我们可以定义dp[i][j]为将前i个元素划分为j个组所得到的最小元素之和的平方和。然后我们可以考虑两种情况：

1. 我们在如何划分前i个元素中最后一个组。这意味着我们需要在i-1个元素内划分j-1个组。因此，dp[i][j]可以通过dp[p][j-1] + (sum[i] - sum[p])^2来计算，其中sum[i]表示前i个元素的和，sum[p]表示前p个元素的和。

2. 我们在前i个元素之间增加一个元素以扩展同一子数组。因此，我们可以在p和i之间划分一个子数组，并将其合并到最后一个子数组中，以获得一个更优的解。dp[i][j]可以通过dp[p][j] + (sum[i] - sum[p])^2来计算。

我们需要遍历所有的i和j来计算其值，然后返回dp[n][k]作为最终的答案。

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2k)$，其中n是数组nums的长度，k是要划分的组数。
• 空间复杂度：$O(nk)$，我们使用一个二维数组dp来存储结果。

代码实现

int minSumOfSquares(vector<int>& nums, int k) {
    int n = nums.size();
    vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(k+1, INT_MAX/2));
    vector<int> sums(n+1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sums[i] = sums[i-1] + nums[i-1];
        dp[i][1] = sums[i]*sums[i];
    }
    for (int j = 2; j <= k; j++) {
        for (int i = j; i <= n; i++) {
            for (int p = j-1; p < i; p++) {
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[p][j-1] + (sums[i] - sums[p])*(sums[i] - sums[p]));
            }
        }
    }
    return dp[n][k];
}

参考资料

• https://leetcode.com/problems/minimum-difficulty-of-a-job-schedule/
• https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamic_programming#Partition_problem