删除元素最大化包含最大和最小数组元素的子数组计数

问题描述

给定一个长度为n的整数数组，最多可以删除其中的一个元素，要求删除后通过重新排列数组，使得数组包含其最大和最小的元素，且最大、最小元素必须都至少包含在一个子数组中。请问，最多可以包含多少个这样的子数组?

解题思路

考虑两个元素x,y(x<y)，它们分别是数组中的最大值和最小值。想要包含它们，只能是以下两种情况之一：

1. 整个数组中只有一个x，且y被分割在x的左右两侧，或者y为x左侧或右侧某个连续区间的最值。
2. 整个数组中只有一个y，且x被分割在y的左右两侧，或者x为y左侧或右侧某个连续区间的最值。

对于情况1，可以通过找到最长的一段区间，使得这段区间中同时包含了x和y，对于情况2也是同理。记f(i)表示以第i个元素为结尾的最长区间的长度，则答案即为 $$ \max_{1\leq i\leq n}{f(i-1)+g(i+1)}+1 $$

其中f(i)和g(i)可以通过一遍扫描计算得到。注意边界问题，以及特殊情况下某个元素为全局最大值或最小值的情况。

代码实现（Python）

def solve(arr):
    n = len(arr)
    f, g = [0]*n, [0]*n
    
    for i in range(1, n):
        f[i] = f[i-1] + 1 if arr[i] > arr[i-1] else 0
        g[n-1-i] = g[n-i] + 1 if arr[n-1-i] < arr[n-i] else 0
    
    ans = 0
    for i in range(n):
        if i == 0:
            ans = max(ans, g[i+1]+1)
        elif i == n-1:
            ans = max(ans, f[i-1]+1)
        else:
            if arr[i-1] < arr[i+1]:
                ans = max(ans, f[i-1]+g[i+1]+1)
    return ans

复杂度分析

假设数组长度为n，则时间复杂度为O(n)，空间复杂度也为O(n)。