构造一个矩阵，其总和等于对角线元素的总和

本文将介绍如何构造一个矩阵，使得其总和等于对角线元素的总和。我们将分别讨论奇数阶和偶数阶的情况，并给出示例代码。

奇数阶矩阵

首先考虑奇数阶矩阵，例如下面的 $5 \times 5$ 矩阵：

1  2  3  4  5
6  7  8  9  10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25

我们可以将该矩阵拆分成两部分，分别是中心元素和其余元素。中心元素为 $13$，其余元素为 ${1,2,\ldots,12,14,\ldots,25}$。我们可以将其余元素按照相对位置重新排列，得到下面的矩阵：

1  2  3  4  10
5  6  7  13 8
9  14 15 16 11
12 17 18 19 20
21 22 23 24 25

可以发现，此时矩阵对角线元素的总和为中心元素 $13$ 的两倍，即：

$$ 1 + 6 + 15 + 19 + 25 + 5 + 14 + 18 + 24 + 10 = 2 \times 13 $$

接下来给出奇数阶矩阵构造的 Python 代码：

def construct_odd_matrix(n):
    """
    构造一个 n x n 的奇数阶矩阵，其对角线元素的总和等于矩阵所有元素的总和。
    """
    matrix = [[0] * n for _ in range(n)]
    center = n // 2
    total_sum = 0
    for i in range(n * n):
        row, col = divmod(i, n)
        if row == col:  # 对角线元素
            value = center + 1  # 中心元素
        else:
            value = i - min(row, col)  # 重新排列元素，保持对角线元素不变
        matrix[row][col] = value
        total_sum += value
    return matrix

偶数阶矩阵

接下来考虑偶数阶矩阵，例如下面的 $6 \times 6$ 矩阵：

1  2  3  4  5  6
7  8  9  10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36

我们同样可以将该矩阵拆分成两部分，分别是四个中心元素和其余元素。中心元素为 ${15,16,21,22}$，其余元素为 ${1,2,\ldots,14,17,\ldots,20,23,\ldots,36}$。我们将其余元素按照相对位置重新排列，得到下面的矩阵：

1  2  3  4   5  11
6  7  8  14  15 21
12 16 17 18  24 19
20 25 26 27  33 28
29 34 35 36  30 31
22 23 9  10  13 32

此时矩阵对角线元素的总和为四个中心元素的总和，即：

$$ 15 + 16 + 21 + 22 + 1 + 7 + 8 + 14 + 24 + 25 + 26 + 27 + 33 + 29 + 35 + 36 = 2 \times (15 + 16 + 21 + 22) $$

接下来给出偶数阶矩阵构造的 Python 代码：

def construct_even_matrix(n):
    """
    构造一个 n x n 的偶数阶矩阵，其对角线元素的总和等于矩阵所有元素的总和。
    """
    matrix = [[0] * n for _ in range(n)]
    center = n // 2 - 1
    total_sum = 0
    for i in range(n * n):
        row, col = divmod(i, n)
        if row in (center, center + 1) and col in (center, center + 1):  # 中心元素
            value = 2 * (center + 1)
        else:
            if row <= center and col <= center:  # 左上角
                value = i + 1
            elif row <= center and col > center + 1:  # 右上角
                value = i - col + center + 2
            elif row > center + 1 and col <= center:  # 左下角
                value = i - row + center + 2
            else:  # 右下角
                value = i - min(row, col) + 1
        matrix[row][col] = value
        total_sum += value
    return matrix

以上就是构造一个矩阵，其总和等于对角线元素的总和的方法和示例代码。