使用二值提升技术的树中的LCA

在树中，经常需要求解两个节点的最近公共祖先（LCA）。常见的求解方法是通过树的遍历，例如深度优先遍历（DFS），但是这种方法的时间复杂度较高。二值提升技术是一种优化的算法，可以在预处理阶段对树进行处理，使得LCA的查询时间复杂度降至O(1)。

什么是二值提升技术

二值提升技术，又叫倍增算法，是一种预处理+查询的算法。该算法的基本思想是根据树的深度，将每个节点的2^0, 2^1, 2^2, ... , 2^k-1级祖先计算出来，构建一张深度为k的祖先表（P）。当需要查询两个节点u和v的LCA时，可以通过查询这个表，将问题转化为查询两个节点的“跳跃祖先”。

具体而言，可以将树不断地缩小，直到两个节点在同一深度上，此时利用P表查找跳跃祖先。由于在预处理阶段，每个节点都预处理了P表，利用二值提升技术进行LCA查询的时间复杂度是O(logn)，其中n是树的节点数。

使用二值提升技术的代码片段

以下是使用二值提升技术求解树中LCA的参考代码片段。假设有一个树形结构的数据，包含节点的父子关系，根据该数据可以构建出一个树的邻接表，然后使用以下代码片段查询任意两个节点的LCA。

# 使用二值提升技术进行LCA查询
def binary_lifting(node1, node2, depth, parent, p):
    # 使node1拥有更深的深度
    if depth[node1] < depth[node2]:
        node1, node2 = node2, node1

    # 二值提升
    for i in range(31, -1, -1):
        if depth[node1] - 2**i >= depth[node2]:
            node1 = p[node1][i]

    # 寻找LCA
    if node1 == node2:
        return node1
    
    for i in range(31, -1, -1):
        if p[node1][i] != p[node2][i]:
            node1 = p[node1][i]
            node2 = p[node2][i]

    return parent[node1]

以上代码片段中，二值提升的循环部分可以使用位运算进行优化，以进一步提高程序的效率：

for i in range(31, -1, -1):
    if (depth[node1] - depth[node2]) & (1 << i):
        node1 = p[node1][i]

结论

二值提升技术可以用于求解树中两个节点的最近公共祖先（LCA）问题，时间复杂度为O(nlogn)，其中n是树的节点数。预处理阶段可以将每个节点的跳跃祖先计算出来，然后利用二值提升技术进行快速的查询。