门| GATE CS 2021 |设置 2 |问题 13

这是一道GATE CS 2021的考题，属于设置2，问题13。本题考察的是程序员对于树的基本操作和算法的理解。

题目描述

有一棵平衡二叉树，每个节点上有一个整数值。现在你需要实现以下两个方法：

1. insert(int val)：将一个值为val的节点插入到平衡二叉树中。
2. delete(int val)：将值为val的节点从平衡二叉树中删除。

这个平衡二叉树的平衡因子定义为该节点的左子树高度与右子树高度之差的绝对值。如果某个节点的平衡因子大于1，则需要通过旋转操作来使其平衡。具体来说，如果左子树高度比右子树高度大2个以上，则需要进行右旋操作，如果右子树高度比左子树高度大2个以上，则需要进行左旋操作。

请你实现上述两个方法，并说明你的算法的时间复杂度和空间复杂度。

解题思路

本题需要考虑两个重要的问题：

1. 如何实现平衡二叉树的插入和删除操作。
2. 如何实现平衡二叉树的旋转操作以保持平衡。

对于第一个问题，我们可以采用递归的方式实现。具体来说：

• 对于插入操作，我们从根节点开始遍历树，找到合适的叶子节点进行插入，然后递归更新祖先节点的平衡因子，并进行旋转操作以保持平衡。
• 对于删除操作，我们从根节点开始遍历树，找到待删除节点，如果该节点有两个子节点，则找到其右子树中最小的节点来替换该节点的值，然后递归删除右子树中的该最小节点。如果该节点只有一个子节点，则直接将该子节点替换为其父节点。最后递归更新祖先节点的平衡因子，并进行旋转操作以保持平衡。

对于第二个问题，我们需要实现左旋和右旋两个操作。具体来说：

• 对于左旋操作，我们执行以下步骤：
  1. 将待旋转节点的右子节点作为新的根节点。
  2. 将该右子节点的左子节点作为待旋转节点的右子节点。
  3. 将待旋转节点作为该右子节点的左子节点。
• 对于右旋操作，我们执行以下步骤：
  1. 将待旋转节点的左子节点作为新的根节点。
  2. 将该左子节点的右子节点作为待旋转节点的左子节点。
  3. 将待旋转节点作为该左子节点的右子节点。

更新后的祖先节点的平衡因子在递归实现中非常容易得到，具体而言：

• 对于插入操作，如果待插入节点为某个节点的左子节点，则其祖先节点的平衡因子要减1，如果待插入节点为右子节点，则祖先节点的平衡因子要加1。
• 对于删除操作，如果待删除节点为某个节点的左子节点，则祖先节点的平衡因子要加1，如果待删除节点为右子节点，则祖先节点的平衡因子要减1。

至于空间复杂度，由于我们采用了递归的方式实现，故空间复杂度为O(h)，其中h为树的高度。

至于时间复杂度，由于本题要求实现平衡二叉树，故插入和删除操作的时间复杂度均为O(log n)，其中n为树中节点数目。旋转操作的时间复杂度是O(1)，因此总的时间复杂度为O(log n)。