门| GATE CS 2021 |设置1 |问题6

该题目是计算机科学领域的门考试中出现的一道题目。本题目的主要考点是程序设计和算法分析。

题目描述

给定一个数组 $a$，长度为 $n$，且其中所有的元素都是严格正整数。请你找出一个下标 $i$，使得 $a_i$ 乘上 $i$ 的值最大，并返回这个最大值。以下是输入格式：

输入：

• 第一行包含一个整数 $n$，表示数组 $a$ 的长度 $(1≤ n≤10^5)$。
• 第二行包含 $n$ 个整数 $a_1,a_2,…,a_n$，表示数组 $a$ 的元素 $(1≤ a_i≤10^5)$。

输出：

输出一个整数，表示 $a_i$ 乘上 $i$ 的最大值。

解法思路

该题目的核心思路是排序和贪心算法。因为乘积的数学性质，我们肯定会认识到 $a_i ⋅ i$ 的最大值和 $a_i$ 的最大值之间是存在关系的。所以我们可以将 $a_i$ 的值排序，找到第 $i$ 大的 $a_i$ 值，并计算最大的 $a_i ⋅ i$ 值，即为所求。

下面是伪代码：

input array a with length n
sorted_a = sort(a)
max_product = 0
for i in range(n):
    product = sorted_a[i] * (i+1)
    max_product = max(max_product, product)
return max_product

复杂度分析

该方法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，主要是由于排序所需的时间花费。空间复杂度是 $O(n)$，因为我们需要存储原先数组 $a$ 和排序后的数组 $sorted_a$。

参考实现

下面是python的参考实现：

def max_mul(n: int, a: List[int]) -> int:
    sorted_a = sorted(a, reverse=True)
    max_product = 0
    for i in range(n):
        product = sorted_a[i] * (i+1)
        max_product = max(max_product, product)
    return max_product

注意到，我们使用了python的类型注解和类型引入，来增强了代码的可读性和可维护性。