后缀树应用程序4 –构建线性时间后缀数组

本文介绍了如何使用后缀树来构建一个线性时间的后缀数组。后缀数组是字符串处理中一种重要的数据结构，能够在很多问题中取代后缀树并提高效率。

什么是后缀数组

后缀数组是一个将字符串中所有后缀排序后，按照这个顺序存储后缀在原字符串的起始位置。例如，字符串 "banana" 的后缀数组就是 [5,3,1,0,4,2]，它表示的是：

| 后缀 | 起始位置 | |:-:|:-:| | na | 5 | | ana | 3 | | banana | 0 | | anana | 1 | | nana | 4 | | a | 2 |

后缀数组的实现方法有很多种，其中最常用的是 Manber 和 Myers 发明的方法，它的时间复杂度是 O(n log n)，其中 n 是字符串的长度。但是，通过后缀树构建后缀数组可以将时间复杂度进一步降到 O(n)。

如何构建线性时间后缀数组

步骤1：构建后缀树

首先，需要构建字符串的后缀树。在这里，采用 Ukkonen 算法来构建。Ukkonen 算法可以在线性时间内构建后缀树，它是目前最快的后缀树构建算法之一。

步骤2：遍历后缀树得到后缀数组

假设字符串为 T，长度为 n。后缀树中每个叶子节点表示一个后缀，每个内部节点表示一段公共前缀。如果遍历到一个叶子节点，就将其起始位置添加到后缀数组中。如果遍历到一个内部节点，就递归遍历其子节点，直到遍历到叶子节点为止。

为了实现线性时间的后缀数组，需要对遍历过程进行改进。具体来说，需要满足以下两个条件：

• 当遍历到一个内部节点时，可以不必递归遍历其所有子节点，只需要累积所有子节点的字符串长度即可。
• 当遍历到一个叶子节点时，需要记录它在字符串中的位置，并标记它是一个后缀。

根据上述条件，可以得到以下代码实现：

def traverse_tree(node, depth, suffix_array):
    if node.is_leaf:
        suffix_array.append(len(T) - depth)
    else:
        for child in node.children.values():
            traverse_tree(child, depth + child.edge_length(), suffix_array)

在遍历过程中累积每个节点的字符串长度可以通过 edge_length() 方法得到。

步骤3：排序后缀数组

最后，将得到的后缀数组按照后缀的字典序排序即可。由于已经构建了后缀树，可以很容易地得到任意两个后缀的 LCP（最长公共前缀），因此可以使用基数排序算法来进行排序。基数排序的时间复杂度为 O(n)，因此整个算法的时间复杂度为 O(n)。

总结

本文介绍了如何使用后缀树来构建一个线性时间的后缀数组。后缀数组是解决很多字符串处理问题的基础，比如最长重复子串、最长回文子串等。通过将后缀树中的遍历过程优化，可以达到线性时间的复杂度，从而提高算法的效率。