找到总和等于 K 的所有子序列

在算法和数据结构领域中，找到总和等于 K 的所有子序列是一个常见的问题。这个问题在多个实际场景中都有应用，如数据挖掘、金融分析等。本文将简要介绍这个问题及其解决方法。

问题描述

给定一个正整数数组 nums 和一个目标整数 K，请找到所有使得子数组总和等于 K 的连续子数组。子数组必须由连续元素组成，并且子数组中的元素个数至少是 1。

例如，给定 nums = [1, 1, 2, 3, 2]，K = 4，找到的所有连续子数组中，总和等于 K 的有 [1, 3] 和 [2, 2]。

解决方法

暴力枚举法

暴力枚举法是最简单直接的解决方法。对于每个子数组，我们都依次计算它的总和是否等于 K。时间复杂度为 O(n^3)。

def subarraySum(nums, K):
    count = 0
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i+1, len(nums)+1):
            if sum(nums[i:j]) == K:
                count += 1
    return count

前缀和法

前缀和法是通过构建前缀和数组，快速计算任意子数组的总和。前缀和数组 preSum 的计算方式为：

preSum[i] = nums[0] + nums[1] + ... + nums[i-1]

因此，任意子数组 [i, j] 的总和为：

sum(i, j) = preSum[j+1] - preSum[i]

利用前缀和数组，可以将时间复杂度优化到 O(n^2)。

def subarraySum(nums, K):
    count = 0
    preSum = [0] * (len(nums)+1)
    for i in range(1, len(nums)+1):
        preSum[i] = preSum[i-1] + nums[i-1]
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i+1, len(nums)+1):
            if preSum[j] - preSum[i] == K:
                count += 1
    return count

哈希表法

哈希表法是一种时间复杂度为 O(n) 的解决方法。我们利用一个哈希表记录从起始位置开始到某个位置的总和出现的次数。如果某个位置的前缀和减去 K 出现在哈希表中，则说明当前位置与该位置之间的子数组总和为 K。

def subarraySum(nums, K):
    count = 0
    preSum = 0
    hash_map = {0: 1}
    for i in range(len(nums)):
        preSum += nums[i]
        count += hash_map.get(preSum - K, 0)
        hash_map[preSum] = hash_map.get(preSum, 0) + 1
    return count

总结

找到总和等于 K 的所有子序列是一个常见的算法问题，有多种解决方法。暴力枚举法虽然简单，但时间复杂度高；前缀和法通过构建前缀和数组，快速计算任意子数组的总和；哈希表法利用哈希表记录从起始位置开始到某个位置的总和出现的次数，可以快速计算总和为 K 的子数组个数，并且时间复杂度为 O(n)。