找出涂有 K 个黑色的网格中 p 边正方形的数量

在一个 $n\times n$ 的网格中，涂有 $K$ 个黑色的格子，求出正方形边长为 $p$ 的数量。

解题思路

题目看起来十分困难，但实际上可以用简单的数学知识加上一些技巧解决。

首先我们可以先假设 $p=1$，也就是要求正方形边长为 $1$ 的数量。这个很简单，只需要算出一共有多少个黑色格子就好了，即 $K$ 个。

接下来我们考虑 $p=2$ 的情况。我们可以先枚举正方形的左上角的格子，再判断其它三个角是否在黑色格子中。如果都在，那么就算一个正方形。也就是说，在黑色格子中任选两个，它们分别作为正方形左上角和右下角的概率为：

$$\frac{\binom{K}{2}}{\binom{n^2}{2}}=\frac{K(K-1)}{n^2(n^2-1)}$$

由于正方形可以在网格中的任意位置出现，因此最后的数量还需要乘以 $(n-p+1)^2$，即：

$$\frac{K(K-1)(n-p+1)^2}{n^2(n^2-1)}$$

这就是正方形边长为 $2$ 的数量。

在 $p\geq 3$ 的情况下，问题就变得更加复杂了。我们可以考虑以一个格子为正方形的左上角，正方形边长为 $p$ 的数量等于以这个格子为左上角的 $p-1$ 个边长为 $p-1$ 的正方形中，有多少个格子是黑色的。由于每个正方形都包含了 $p^2$ 个格子，因此我们可以使用前缀和求出每个边长为 $p-1$ 的正方形中黑色格子的数量，再用一个二维前缀和求出以每个格子为左上角的正方形中黑色格子的数量，最后加起来即可。

代码示例

以下是用 Python 代码实现上述算法的示例：

def count_squares(n, k, p):
    # 枚举左上角的格子
    res = 0
    for i in range(n - p + 1):
        for j in range(n - p + 1):
            # 以当前格子为左上角的 (p-1) x (p-1) 的正方形中黑色格子的数量
            cnt = prefix_sum[i + p - 2][j + p - 2] - prefix_sum[i - 1][j + p - 2] \
                  - prefix_sum[i + p - 2][j - 1] + prefix_sum[i - 1][j - 1]
            # 以当前格子为左上角的 p x p 的正方形中黑色格子的数量
            if cnt == p ** 2 - k:
                res += 1
    return res

其中 prefix_sum 是一个二维前缀和数组，表示以 $(i,j)$ 为右下角的前缀和。具体实现可以参考以下代码：

prefix_sum = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
for i in range(1, n + 1):
    for j in range(1, n + 1):
        prefix_sum[i][j] = prefix_sum[i - 1][j] + prefix_sum[i][j - 1] - prefix_sum[i - 1][j - 1] + int(grid[i - 1][j - 1])

其中 grid 是一个 $n\times n$ 的布尔型二维数组，表示黑色格子的位置。