来自前N个自然数的总和为N的对的计数

问题背景

给定一个整数N，求由前N个自然数(1至N)中任选两个数 a 和 b 组成的所有对(a, b)中，满足 a + b = N 的对的总数。

问题分析

解法一

暴力枚举所有可能的数对，统计满足条件的对数。时间复杂度为O(N^2)。

def count_pairs(N: int) -> int:
    count = 0
    for i in range(1, N+1):
        for j in range(i+1, N+1):
            if i+j == N:
                count += 1
    return count

解法二

利用数学公式计算满足条件的对数。因为 a + b = N，则有 a = N - b。将 a 带入数对中得到 (N - b, b)。因此，只需要枚举 b，计算 a 的值是否在范围 [1, N] 中即可。时间复杂度为O(N)。

def count_pairs(N: int) -> int:
    count = 0
    for i in range(1, N//2+1):
        if N % 2 == 0 and i == N//2:
            count += 1
        else:
            count += 2
    return count

在上述代码中，我们特别处理了 N 为偶数时，中间的两个数对 (i, N-i) 只计算一次。

总结

在本文中，我们分析了计算来自前N个自然数的总和为N的对的计数的两种解法。第一种解法是暴力枚举所有可能的数对，时间复杂度为O(N^2)；第二种解法是利用数学公式计算，时间复杂度为O(N)。实际应用中，应选择时间复杂度更低的解法。