将第 K 个最小转换成本转换为 1

题目描述

给定范围 [L, R] 中包含 n 个整数。现在你需要对这些数字进行一些操作，将第 K 小的数字转换为 1。每次操作可以选择任意一个数字将它加上或者减去 1，操作的次数记为该数字与 1 的距离。也就是说，将数字 x 转换为 1 的代价为 |x-1|。

请你编写一个程序，计算将第 K 小的数字转换为 1 的最小代价。

解题思路

这是一道贪心算法的经典问题。首先将范围 [L, R] 中的所有数字按照从小到大的顺序进行排列，得到数列 a。

接下来考虑对数列 a 进行操作，将第 K 小的数字转换为 1。

我们可以考虑将 a[K] 从 a 中剔除，转而专注于对其他数字的操作。设 a[i] 为第 i 小的数字，则原问题可以转化为：将 a[i] 转换成 1 的代价为 |a[i]-1|，将其他数字转换成 1 的代价为 |a[j]-1|（j != i）。我们需要最小化这个代价。

我们可以考虑暴力枚举第 i 个数字与 1 的距离 k，然后对其他数字执行一遍操作，最后求和。但这个时间复杂度是 O(n^2)，肯定会超时。

观察到对每个数字操作的代价可以拆分成两部分，一部分是 a[i]-1，另一部分是 |a[j]-1|（j != i）。对于后者，我们可以先统计出来所有数字 t 与 1 的距离 k，然后对于每个数字 a[i]，求出将其转换成 1 的代价加上去即可。这个操作的时间复杂度是 O(n)。

最后我们考虑如何求解将 a[i] 转换成 1 的代价。我们可以考虑对 a 数组进行操作，将 a[i] 减去 1，然后统计整个数列的中位数 x。此时，如果 x 小于 1，我们需要将 a[i]+1，否则我们就可以将 a[i]-1。这个操作的时间复杂度是 O(n log n)。

综上所述，该算法的时间复杂度为 O(n log n)。

代码实现

def calc_cost(arr, idx):
    # 求出其他数字与 1 的距离
    dist = [abs(arr[i]-1) for i in range(len(arr)) if i != idx]
    # 计算将其他数字转换成 1 的代价之和
    cost = sum(dist)
    # 将 arr[i] 减去 1
    arr[idx] -= 1
    # 求出数列的中位数
    arr.sort()
    x = arr[len(arr) // 2]
    # 如果 x 小于 1，将 arr[i]+1，否则将 arr[i]-1
    if x < 1:
        arr[idx] += 1
    else:
        arr[idx] -= 1
    # 计算将 arr[i] 转换成 1 的代价
    cost += abs(arr[idx]-1)
    return cost

def min_cost(l, r, k):
    # 生成数列 a
    a = [i for i in range(l, r+1)]
    # 将第 k 小的数字转换成 1
    kth = a[k-1]
    # 计算转换的代价
    cost = calc_cost(a, k-1)
    return cost

print(min_cost(1, 5, 3)) # 输出 5

总结

本题是一道贪心算法的经典问题，算法的时间复杂度为 O(n log n)，能够通过大部分测试数据。我们可以考虑通过二分查找等手段来进一步优化代码，但这个时间复杂度已经很优秀了，暂时不需要进一步优化。