在范围 [L, R] 中数字的转换成本

假设我们有一个数字 $n$，我们可以通过执行以下三种操作之一来将其转换为 $n-1$ 或 $n+1$ 或 $2n$：

• 如果 $n$ 是偶数，则可以将其转换为 $\frac{n}{2}$，转换成本为 $0$。
• 如果 $n$ 是奇数，则可以将其转换为 $n-1$ 或 $n+1$，转换成本为 $1$。
• 如果 $n$ 是 $1$，则无法执行任何操作。

现在，我们的目标是将数字序列 [L, R] 中的第 $K$ 个最小数字转换成 $1$，请计算最小转换成本。

算法思路

我们可以使用广度优先搜索算法（BFS）在数字序列中搜索符合要求的数字。

首先，我们从 $1$ 开始执行操作，将所有可能的结果加入队列中。然后，我们将队列中的第一个数字出队，如果这个数字是我们需要转换的第 $K$ 个数字，那么我们就找到了最小转换成本。否则，我们将其所有可能的结果加入队列中，进行下一轮搜索。当队列为空时，说明无法将数字序列中的第 $K$ 个数字转换成 $1$。

要注意的一点是，因为没有必要将所有数字都转换成 $1$，我们只需要将数字序列中的第 $K$ 个数字转换成 $1$，所以在算法中需要维护一个“数字已处理”列表，记录已经搜索过的数字，避免重复处理。

代码实现

def min_conversion_cost(L, R, K):
    processed = set()
    queue = [(1, 0)] # (number, cost)

    while queue:
        number, cost = queue.pop(0)

        if number == K:
            return cost

        if number < L or number > R or number in processed:
            continue

        processed.add(number)

        if number % 2 == 0:
            queue.append((number // 2, cost))
        else:
            queue.append((number + 1, cost + 1))
            queue.append((number - 1, cost + 1))

    return -1 # 无法将数字序列中的第 K 个数字转换成 1

复杂度分析

搜索范围是数字序列 [L, R]，所以最坏情况下的时间复杂度为 $O(R)$。在搜索过程中，每个数字最多被处理一次，因此复杂度为 $O(R)$。同时，在最坏情况下，队列的长度不会超过 $R$，因此空间复杂度为 $O(R)$。

总结

本文介绍了如何计算数字序列 [L, R] 中的第 $K$ 个数字的最小转换成本。重点是使用 BFS 算法在数字序列中搜索符合要求的数字。在实现算法时，需要注意维护“数字已处理”列表，避免重复处理。