给定数字的每个数字的频率的最近幂 2

在某些情况下，我们需要计算给定数字的每个数字的频率的最近幂 2。这在统计学、密码学等领域的应用非常广泛。下面将介绍一个解决这个问题的算法，并提供示例代码。

算法介绍

假设我们需要计算数字7这个数字的频率，即在一个给定数字n中数字7出现的次数。首先将数字7转换为二进制表示，即0111。然后，我们需要计算在给定数字n的所有位中，从右侧开始的、每个包含3个二进制数字的子串中，有多少个子串与0111相同。如图所示：

n:   1  0  1  1  1  0  0  1  1  0  1  1  1
     |__|__|__|        |__|__|__|__|
      1  1  0         1  1  1  0

其中，红色的部分是4位二进制串0111的一部分。可以看到，共有两个子串与它相同。显然，如果我们可以计算出给定数字n每个子串与某个二进制数字b相同的次数，就可以计算出所有数字的频率的最近幂2。

我们可以借助哈希表来实现这个算法。具体做法如下：

1. 预处理每个数字的所有包含3个二进制数字的子串的哈希值。对于某个数字n和某个子串的哈希值h，如果n的某个子串的哈希值等于h，则说明这个子串与原来的二进制数字相同。注意，为方便起见，在这里假设哈希表的大小是2的幂次方（如64、128、256等），并用位运算来实现“取模”操作。
2. 对于每个数字n，计算它每个包含3个二进制数字的子串的哈希值，并在哈希表中查找这个哈希值的出现次数。由于哈希表的大小是2的幂次方，因此我们可以通过将哈希值向左移动log2(n)位来实现“取模”操作。
3. 对于每个子串与某个二进制数字相同的次数，计算它的最近幂2。最简单的方法是使用位运算，即将这个数转换为二进制表示后，保留最高位1后的位数再加1。例如，对于数字9，它包含的子串“100”的出现次数为3，因此它的频率的最近幂2为4。

代码示例

下面是用Python实现这个算法的示例代码：

def freq_power_of_two(n):
    # 预处理哈希表
    hash_table = [0] * 256
    for b in range(256):
        h = 0
        for i in range(3):
            if b & (1 << i):
                h ^= 1 << (3 - i - 1)
        hash_table[h] = b

    # 计算每个子串的出现次数
    freq_table = [0] * 256
    for i in range(len(str(n)) - 2):
        sub = (n >> i) & 0b111
        h = hash_table[sub]
        freq_table[h] += 1

    # 计算每个数字频率的最近幂2
    result = []
    for i in range(10):
        sub = (i << 1) | 1
        h = hash_table[sub]
        freq = freq_table[h]
        result.append(pow(2, int(math.log2(freq)) + 1))

    return result

其中，hash_table是哈希表，用来存储所有包含3个二进制数字的子串的哈希值。freq_table是一个辅助表，用来存储每个子串出现的次数。最终的结果存储在result中，result[i]表示数字i在n中的频率的最近幂2。

上面的代码中，我们使用了位运算和log2函数。在某些语言中，可能需要修改这些函数的使用方法。总体而言，这个算法比较简单、有效，可以在不同领域的应用中发挥重要的作用。