在K人中分配N个糖果

问题描述

有 K 个人和 N 个糖果，需要将糖果分配给这些人。每个人至少分配一个糖果。求有多少种不同的分配方式。

解决方法

这是一个经典的组合问题，可以使用数学的组合方法或者程序语言的递归算法来解决。

数学方法

首先，我们需要将一个糖果分配给每个人，这样就剩下 N-K 个糖果需要分配。然后，我们需要将这 N-K 个糖果分配给 K 个人，其中每个人可以得到 0 个或多个糖果。这个问题可以转化为将 N-K 个球放在 K-1 个盒子里的方法数。使用经典的组合方法，称为“插板法”，可以得到下面的公式：

C(N-1, K-1)

其中，C 表示组合数。

递归算法

我们可以使用递归算法来解决这个问题。首先将一个糖果分配给每个人，然后将剩下的糖果分配给每个人，每个人可以得到 0 个或多个糖果。递归的基本情况是当所有糖果都已经分配时，返回 1。递归的复杂度是 O(K^N)。

下面是 Python 的实现代码：

def distribute_candies(k, n):
    if n == 0:  # 所有糖果都已经分配
        return 1
    if k == 1:  # 只有一个人，只能将所有糖果分给他
        return 1
    count = 0
    for i in range(n+1):  # 枚举第一个人得到的糖果数
        count += distribute_candies(k-1, n-i)
    return count

动态规划算法

递归算法存在大量的重复计算，可以使用动态规划算法来避免重复计算。首先，我们创建一个 k × n 的数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将 j 个糖果分配给前 i 个人的方法数。

将一个糖果分配给每个人，然后枚举第一个人得到的糖果数，假设第一个人得到了 k 个糖果，则将剩下的 j-k 个糖果分配给剩下的 i-1 个人。这可以通过 dp[i-1][j-k] 得到。因此，

$$dp[i][j] = \sum_{k=0}^{j} dp[i-1][j-k]$$

初始化 dp[0][j] = 0（没有人），dp[i][0] = 1（没有糖果），dp[1][j] = 1（只有一个人）。

下面是 Python 的实现代码：

def distribute_candies(k, n):
    dp = [[0]*(n+1) for _ in range(k+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[0][i] = 0
    for i in range(1, k+1):
        dp[i][0] = 1
    for i in range(1, k+1):
        for j in range(1, n+1):
            for t in range(j+1):
                dp[i][j] += dp[i-1][j-t]
    return dp[k][n]

结论

本文介绍了如何解决将 N 个糖果分配给 K 个人的问题。使用数学方法可以得到简单严谨的公式，递归算法和动态规划算法可以得到高效的程序实现。