具有所有最深节点的最小子树

在树结构中，一棵子树可以被定义为一个节点及其全部后代。给定一个根节点，一个子树包括根节点以及从根节点开始的所有节点。最小子树是指包括所有最深叶子节点的最小子树，即深度最大且节点数最小的子树。

解法

解法一：暴力

暴力方法是遍历整个树找到所有最深叶子节点，然后从每个叶子节点开始向上遍历到根节点，得到一个子树。最后比较所有子树，找到最小子树。时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 n 是树中节点的数量。

解法二：深度优先搜索

深度优先搜索可以在一次遍历中找到所有最深叶子节点，并向上构造包含这些节点的子树。具体地，我们可以从根节点开始进行深度优先搜索，并记录当前最大深度和最深叶子节点。对于每个节点，我们更新最大深度和最深叶子节点，并将当前节点加入一个候选子树中。当我们访问的节点与最大深度节点相同时，我们就找到了所有最深叶子节点，并可以将候选子树作为答案。时间复杂度为 $O(n)$。

解法三：分治法

分治法的思想是将问题分成更小的子问题，分别解决，然后将结果合并。对于本问题，我们可以分治到每个子树的根节点，然后递归地向下构造子树。具体地，我们可以将每个子树的根节点的深度记录下来，然后找到最大深度。如果最大深度在左右子树中相等，则当前节点就是答案。否则，我们向深度更大的子树递归，并将答案传递给上一级。时间复杂度为 $O(n \log n)$。

实现

下面是使用 Python 语言实现深度优先搜索的代码：

def subtreeWithAllDeepest(root: TreeNode) -> TreeNode:
    def dfs(node: TreeNode) -> Tuple[Optional[TreeNode], int]:
        if not node:
            return None, 0
        left, ldepth = dfs(node.left)
        right, rdepth = dfs(node.right)
        if ldepth == rdepth:
            return node, ldepth + 1
        elif ldepth > rdepth:
            return left, ldepth + 1
        else:
            return right, rdepth + 1

    return dfs(root)[0]

其中，dfs 函数是一个递归函数，它返回当前子树中的最深节点和最大深度。在函数中，如果左右子树的深度相等，则当前节点就是答案。如果左右子树的深度不相等，则递归到更深的子树中。由于深度优先搜索遍历到最深节点后会立即向上返回，所以这个实现方法的时间复杂度为 $O(n)$。

总结

本文介绍了三种解法，它们的时间复杂度分别为 $O(n^2), O(n)$ 和 $O(n \log n)$。其中，深度优先搜索是最简单的实现方法，而分治法在一些情况下可以很有用，例如在要求最小子树的大小时。

在考虑这一问题时，我们可以将所有节点的深度设为 0，并递归地将孩子节点的深度设为父亲节点的深度加 1。这种做法可以在遍历树时判断节点的深度并记录最大深度。