计算绘制N x 3网格的独特方法的数量

假设我们有一个N x 3的网格，我们想要计算出绘制这个网格的所有独特方法的数量。独特的方法指的是所有相似的图形和轮廓都被认为是相同的。

解决方案

对于这个问题，我们可以使用动态规划来解决。我们可以用 $f(i)$ 表示绘制高度为 $i$ 的网格时的独特方法数。我们可以通过 $f(i-1)$ 和 $f(i-2)$ 来计算出 $f(i)$。因为当我们向上添加第 $i$ 行时，我们有三种选项：添加竖线、添加两个横线，或者添加一个横线。因此，我们可以得到以下公式：

$f(i) = 2 \times f(i-1) + f(i-2)$

其中，$2 \times f(i-1)$ 表示在第 $i$ 行添加两个横线的情况，$f(i-2)$ 表示在第 $i$ 行添加一个横线的情况。

代码实现

def unique_grid_methods(n: int) -> int:
    if n == 0:
        return 1
    if n == 1:
        return 3
    prev1 = 3
    prev2 = 1
    for i in range(2, n + 1):
        curr = 2 * prev1 + prev2
        prev2 = prev1
        prev1 = curr
    return curr

示例

我们来看一个具体的例子。当 $n = 3$ 时，网格如下所示：

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根据公式 $f(i) = 2 \times f(i-1) + f(i-2)$，我们可以得到：

$f(0) = 1$

$f(1) = 3$

$f(2) = 2 \times 3 + 1 = 7$

$f(3) = 2 \times 7 + 3 = 17$

因此，当 $n = 3$ 时，有17种绘制独特网格的方法。