计算绘制 N x 3 网格的独特方法的数量

在计算机科学中，计算独特方法的数量是一项常见的任务。本篇文章将介绍如何计算绘制 N x 3 网格的独特方法的数量。

问题描述

给定一个 N x 3 的网格，每个单元格中可以填充一个颜色。一个独特的方法是指网格中的颜色填充方式不同于任何其他方法。例如，对于 $N=1$ ，有三种独特的方法：将三个单元格填充为同一种颜色，或将它们填充为三种不同的颜色。

请编写一个函数，输入一个正整数 $N$ （$1 \leq N \leq 10^6$），输出填充 N x 3 网格的独特方法数。

解决方案

我们可以使用组合数学中的计数原理来计算独特方法的数量。具体而言，我们可以考虑枚举网格中不同颜色数目的可能值 $k$ ，并计算填充整个网格的方法数。

假设我们选择了 $k$ 种不同的颜色，那么首先需要在三列中选择 $k$ 个位置来填充这些颜色。这一步有 $\binom{3}{k}$ 种选择方式。

接下来，我们需要在 $k$ 个颜色中选择一种颜色填充每列，使得相邻的单元格不使用相同的颜色。对于每列而言，第一行可以有 $k$ 种选择，第二行和第三行则有 $k-1$ 种选择。因此，当前颜色选择下可以生成的填充方法数为 $k(k-1)^2$。

最后，我们需要将三列中颜色选择的数量汇总计算，总的填充方法数为：

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{3} \binom{3}{k} k(k-1)^2 &= 3 \binom{3}{1} 1 \cdot 0^2 + 3 \binom{3}{2} 2 \cdot 1^2 + \binom{3}{3} 3 \cdot 2^2 \ &= 3 \cdot 3 \cdot 0 + 3 \cdot 3 \cdot 2 + 1 \cdot 3 \cdot 4 \ &= 13 \end{aligned} $$

因此，当 $N=1$ 时，填充 N x 3 网格的独特方法数为 $13$ 。

代码实现

下面是 Python 代码的实现方式：

def unique_ways(n: int) -> int:
    res = 0
    for k in range(1, 4):
        res += comb(3, k) * k * (k-1)**2
    return res ** n

print(unique_ways(1))  # 输出 13

需要注意，由于题目中要求的是独特方法的数量而不是所有填充方法的数量，因此最终结果需要乘以 $N$。另外，代码中的 comb 函数可以使用 Python 的标准数学库 math 中的 comb 函数来实现。