最小子数组乘积余数问题

问题描述

给定一个整数数组 nums 和一个正整数 k，求最小的子数组的乘积除以数组大小的余数为 k。

示例

• 输入: nums = [1,2,3,4], k = 4 输出: 0 解释: 最小的子数组为 [4]，其乘积为 4，除以数组大小得 1，余数为 0，与 k 不符。

• 输入: nums = [1,2,3,4], k = 10 输出: 2 解释: 最小的子数组为 [2,3]，其乘积为 6，除以数组大小得 1，余数为 2，符合要求。

解题思路

• 首先考虑暴力枚举：枚举所有子数组，计算它们乘积以及数组大小并判断是否符合要求。时间复杂度为 $O(n^3)$，无法通过本题。

• 从题目中可以得到一个简单的结论：如果最小子数组的乘积为 k，那么直接返回 0 即可。

• 不妨设当前考虑到的子数组为 $[l, r]$，它的乘积为 $p$，数组大小为 $s$。令 $x = p/s \pmod k$，则我们要求的就是 $x$。

• 为了方便处理，我们可以将这个问题转化为：在模 $k$ 意义下，寻找最小的 $s$，使得 $p \equiv xs \pmod k$。这是一个常见的问题，可以使用哈希表来解决。具体而言，我们从左到右枚举子数组的右端点 $r$，用一个哈希表维护所有 $[l,r]$ 的乘积模 $k$ 的值以及最小的数组大小。当 $p \equiv xs \pmod k$ 时，说明我们找到了一个合法的子数组，更新答案。时间复杂度为 $O(n \log n)$。

• 哈希表中的 key 应该存储 $p \bmod k$ 的值，而不是 $p$ 的值，防止在计算过程中超出整型范围。同时，每次更新答案之后都要将当前的乘积除以当前的数组大小，以便与后面的数组合并时方便计算。

参考代码

def find_min_subarray(nums: List[int], k: int) -> int:
    n = len(nums)
    h = {0: -1}  # 初始哈希表，表示前 0 个数的积是 1，模 k 的值是 0
    p, s, ans = 1, 0, n + 1  # p 表示 nums[l:r+1] 的积，s 表示 nums[l:r+1] 的长度，ans 表示最终答案
    for r in range(n):
        if nums[r] % k == 0:
            p, s = 1, 0  # 如果当前数是 k 的倍数，就直接把 p 和 s 设为 1 和 0
        else:
            p *= nums[r]
            s += 1
        x = p % k
        if x in h:
            ans = min(ans, (s - h[x]))
        h.setdefault(x, s)  # 如果 x 不在哈希表中，就把它加进去
        p /= nums[r - s]  # 窗口向右移动，需要把左端点对应的数从积中去掉
    return ans if ans <= n else -1

以上是 python 版本的代码。这个问题也可以使用哈希表实现，不过 C++ 版本的代码可能会更长一点，因为需要手动把整数转化为字符串再放进哈希表中。