求解给定函数的图像表现为幂函数

在给定函数 f(x) = (x + 6)2 (x – 2)2 的情况下，图像表现为幂函数。

幂函数通常具有以下特点：

• 在正半轴上单调递增或递减
• 在负半轴上单调递增或递减
• 具有对称轴，可以是 x 轴或 y 轴
• 在某些情况下具有水平渐近线

根据函数 f(x) 的式子，可以得出：

• 在 x = -6 和 x = 2 处有零点
• 在 x = -3 附近有最小值

为了求解 |x| 的较大值时 f 的图像表现，可以通过计算 f(x) 的导函数来确定其单调性。导函数为：

f'(x) = 2(x + 6)(x – 2)(2x + 8)

当 f'(x) 大于零时，f(x) 单调递增。当 f'(x) 小于零时，f(x) 单调递减。因此，需要计算 f(x) 的导函数在其零点处的符号：

• f'(-8) = 0，f'(x) 小于零，因此 x < -8 时，f(x) 单调递减
• f'(-3) = 0，f'(x) 大于零，因此 -8 < x < -3 时，f(x) 单调递增
• f'(0) = 0，f'(x) 小于零，因此 -3 < x < 0 时，f(x) 单调递减
• f'(5) = 0，f'(x) 大于零，因此 0 < x < 5 时，f(x) 单调递增
• f'(10) = 0，f'(x) 小于零，因此 x > 10 时，f(x) 单调递减

因此，f(|x|) 的图像表现为在 x = 0 处有最大值的幂函数，其对称轴为 y 轴，具有水平渐近线 y = 0。

代码实现

以下代码片段为 Python 实现，可以用于计算幂函数的表现：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

def f(x):
    return (x + 6) ** 2 * (x - 2) ** 2

x = np.arange(-100, 100, 0.1)
y = f(abs(x))

plt.plot(x, y)
plt.show()

以上代码可以生成 f(|x|) 的图像表现。