寻找最大值

在给出 $x$ 和 $y$ 的 $x ^ {y ^ 2}$ 或 $y ^ {x ^ 2}$ 中找到最大值。

方法一：暴力枚举

我们可以使用暴力枚举的方法，枚举 $x$ 和 $y$ 的所有可能情况，并计算出对应的 $x ^ {y ^ 2}$ 和 $y ^ {x ^ 2}$ 的值，最后取其中最大的一个。

时间复杂度为 $O(n ^ 2)$，其中 $n$ 是 $x$ 和 $y$ 的可能取值范围。

def find_max_value_1(start, end):
    """
    暴力枚举法
    """
    max_value = -1
    max_x, max_y = None, None
    for x in range(start, end + 1):
        for y in range(start, end + 1):
            value = max(x ** (y ** 2), y ** (x ** 2))
            if value > max_value:
                max_value = value
                max_x, max_y = x, y
    return max_value, (max_x, max_y)

方法二：数学分析

我们将 $x ^ {y ^ 2}$ 和 $y ^ {x ^ 2}$ 分别取自然对数，得到 $\ln(x ^ {y ^ 2}) = y ^ 2 \ln x$ 和 $\ln(y ^ {x ^ 2}) = x ^ 2 \ln y$。

观察右边的式子，我们发现它们的形式都是 $ax ^ 2 + b \ln x$，其中 $a$ 和 $b$ 都是常数，$a = y ^ 2$ 或 $a = x ^ 2$，$b = \ln y$ 或 $b = \ln x$。

考虑到函数 $f(x) = ax ^ 2 + b \ln x$ 的一阶和二阶导数均可以计算出来，我们可以用求导的方法求出它的最大值点。

根据一阶导数为零可以求得 $x = - \frac{b}{2a} \ln(x)$，将其代入 $f(x)$ 得到最大值为 $f(- \frac{b}{2a} \ln(x)) = a \left( -\frac{b}{2a} \ln(x) \right) ^ 2 + b \ln \left( -\frac{b}{2a} \ln(x) \right)$。

因此，我们可以先计算出 $x ^ 2 \ln y$ 和 $y ^ 2 \ln x$ 的一阶导数和二阶导数，然后代入公式计算出两个函数的最大值，最后取其中的较大值即可。

时间复杂度为 $O(1)$。

import math

def find_max_value_2(x, y):
    """
    数学分析法
    """
    f = lambda a, b: b * math.log(a) + a ** 2 * math.log(b) / 4
    g = lambda a, b: b * math.log(a) / a + a * math.log(b) / 2
    if x ** 2 * math.log(y) / y >= y ** 2 * math.log(x) / x:
        return f(x, y), (x, y)
    else:
        return f(y, x), (y, x)

总结

如果 $x$ 和 $y$ 的可能取值范围很小，可以使用第一种方法；如果取值范围较大，则可以使用第二种方法。

代码实现可以按照需求选择。