求解给定集合的所有可能子集的按位与之和

问题描述

给定一个非空的整数集合，求出该集合中所有可能子集的按位与之和。

例如，给定集合 [1, 2, 3]，其子集为 [1], [2], [3], [1, 2], [1, 3], [2, 3], [1, 2, 3]，它们的按位与之和分别为 1，2，3，0，0，2，0。

解决方案

思路分析

观察上述例子的按位与之和，可以发现一些规律。

假设有两个数 a 和 b，它们的二进制上某一位相同，则它们在该位上的按位与为 1；反之为 0。

如果 a、b、c 三个数在某一位上的二进制数的值都为 1，则它们在该位的按位与结果为 1；如果其中有一个为 0，则结果为 0。

因此，若将集合的全部元素写成二进制数的形式，那么集合中每一个子集对应的二进制数的每一位上的值都相同，这些值的按位与结果就是该子集对应的值。

程序实现

下面是一份实现该算法的 Python 代码。这里采用了一种简单的方法，用集合的全部元素的最大位数 n 作为二进制数的位数，进行遍历累加。

def subset_and_sum(nums: List[int]) -> int:
    n = max(nums).bit_length()    
    res = 0
    for i in range(n):
        subset_and = None
        for num in nums:
            if subset_and is None:
                subset_and = num & (1 << i)
            else:
                subset_and &= num & (1 << i)
        res += subset_and * (1 << i)
    return res

这个方法中，我们首先找到集合中最大元素的位数 n（即二进制下的最高位），然后对于二进制数中的每一位（从低位到高位），遍历整个集合并计算按位与的结果。最终将所有位的按位与结果加起来，就得到了该集合的所有可能子集的按位与之和。

时间复杂度

该算法从低位向高位遍历了集合的全部元素，所以其时间复杂度为 $O(nk)$，其中 n 为集合中最大元素的位数，k 为集合的元素个数。

对于比较稀疏的集合来说，其最大元素的位数可能比较小，算法运行时间较快；而对于比较密集的集合，则需要较长的运行时间。

参考资料

• LeetCode