使用 C 编程语言对阶乘进行质因式分解

对于任意大于等于 2 的整数 n，它的阶乘可以表示为质因数的乘积，即 n! = p1^a1 * p2^a2 ... pk^ak（其中 p1,p2,...,pk 为质数，a1,a2,...,ak 为正整数）。此时，p1,p2,...,pk 就是 n! 的质因数，a1,a2,...,ak 分别是它们的指数。

质因数分解是一个经典的问题，可以使用试除法、试除法优化、线性筛法等算法。本文介绍了一种使用试除法求解 n! 的质因数分解问题的方法。

程序思路

1. 输入一个正整数 n。
2. 创建一个 p 数组用来存储所有的质数，初始值为 {2}。
3. 对于每一个大于 2 小于等于 n 的正整数 i，依次执行以下操作：
   1. 在已知的 p 数组中查找 i 的最小质因子 j，这可以使用试除法实现。
   2. 如果 j 是新的质数，则将其加入 p 数组。
   3. 计算 i 的质因子个数，即将 i 不断除以 j 直到无法整除为止，同时记录 j 的指数 a。
4. 输出 n! 的质因数分解。

注意事项：

1. 因为已知的质数不包括所有的质数，所以必须从已知的质数中查找 i 的最小质因子，并在必要时扩充 p 数组。具体来说，查找过程可以使用如下代码实现：

   for (j = 0; j < pcnt && p[j] * p[j] <= i; j++) {
       if (i % p[j] == 0) {
           break; // i 的最小质因子是 p[j]
       }
   }
   

2. 因为求解 n! 的质因数分解会涉及到大量的乘除运算，要注意数据类型的选择，建议使用 unsigned long long 类型。
3. 因为 n! 的质因数分解可能会很长，所以建议使用字符串或动态数组存储质因数和指数，并输出格式美观。

代码实现

以下是基于以上思路的 C 语言代码，其中使用了动态数组存储质因数和指数：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

typedef long long ll;

int pcnt = 1; // 已知的质数个数
int p[100000] = {2}; // 已知的质数数组
int a[100000] = {0}; // 每个质数的指数

void prime_factorization(int n) {
    int i, j;
    char buf[1000] = {0}; // 存储每个质因数和指数的字符串
    int pos = 0; // 当前字符串的位置
    for (i = 2; i <= n; i++) {
        for (j = 0; j < pcnt && p[j] * p[j] <= i; j++) {
            if (i % p[j] == 0) {
                break; // i 的最小质因子是 p[j]
            }
        }
        if (j == pcnt || p[j] * p[j] > i) { // i 是新的质数
            p[pcnt++] = i; // 加入 p 数组
        }
        int x = i;
        while (x % p[j] == 0) { // 计算质因子个数
            x /= p[j];
            a[j]++;
        }
    }
    printf("%d! = ", n);
    for (i = 0; i < pcnt; i++) {
        if (a[i] == 0) {
            continue;
        }
        if (pos > 0) {
            buf[pos++] = ' ';
        }
        sprintf(buf + pos, "%d^%d", p[i], a[i]);
        pos = strlen(buf);
        a[i] = 0; // 清空指数
    }
    printf("%s\n", buf);
}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    prime_factorization(n);
    return 0;
}

总结

本文介绍了一种使用 C 语言求解 n! 的质因数分解问题的算法。此算法基于试除法，并使用动态数组存储质因数和指数。本文的代码具有一定的可读性和可扩展性，但考虑到数据规模可能很大，实际使用中还需注意数据类型的选择、指针和内存管理等问题。