因式分解

因子是一个数或代数表达式，它均匀地划分另一个数或表达式，即其余数为0。(或)因数乘以得到其他数，则因子为小数。对于示例1、2、4、7、14、28是28的因数。

• 质因数形式：如果我们以质因数乘积形式写一个数字。这就是所谓的主要因素形式。

Example: 70 = 2 * 5 * 7; (here 2, 5, 7 are factors of 70; speacially these are also called prime factors as these (2, 5, 7 are prime numbers)

• 代数表达因子：同样，我们可以将代数表达表达为其因子的乘积。如果不能进一步简化代数表达式，则它是其因素。

Example: 8xy = 8 * x * y (here 8xy is formed by multiplication of numbers(8, x, y) are factors of that number)

因式分解

因式分解不过是将数字写为较小数字的乘积而已。它是将一个或多个数学对象分解为更小或更简单的数字/对象。分解过程包括：

1.共同因素法

• 步骤1：首先，将代数表达的每个项分解为不可约因子
• 步骤2：然后在其中找到常用术语。
• 步骤3：现在，常用术语与其余术语的乘积即为所需的因子表。

示例：因数3x + 18?

解决方案：

Step 1: First splitting every term into irreducible factors.

3x = 3 * x;

18 = 2 * 3 * 3;

Step 2: Next step to find the common term 

3 is the only common term 

Step 3: Now the roduct of common terms and remaining terms is 3(x + 6)

So 3(x + 6) is the required form.

2.通过重组分解

有时，给定表达式的术语应以这种方式排列在适当的组中。这样所有的团体都有一个共同的因素。

示例1：分解x ² + yz + xy + xz?

解决方案：

Here we don’t have a common term for all. So we are taking (x² + xy) as one group and  (yz + xz) as another group.

Factor form of (x² + xy) = (x * x) + (x * y)

                                      = x(x + y)

Factor form of (yz + xz) = (y * z) + (x * z)

                                      = z(x + y)

After combining them,

 x² + yz + xy + xz = x(x + y) + z(x + y)

Taking (x + y) as common we get,

x² + yz + xy + xz = (x + y) (x + z)

示例2：分解2xy + 3 + 2y + 3x?

解决方案：

2xy + 2y + 3x + 3 [here we are rearranging terms to check if we get common terms or not]

2y (x + 1) + 3(x + 1)

(2y + 3) (x + 1)

3.使用身份分解

有许多标准身份。其中一些如下：

一世。 (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²

ii。 (a – b) ² = a ² – 2ab + b ²

iii。 a ² – b ² =(a + b)(a – b)

示例1：因数x ² + 8x + 16?

解决方案：

This is in the form of (a + b)² = a² + 2ab + b²

x² + 8x + 16 = x² + 2 * x * 4 + 4²

                    = (x + 4)²

                           = (x + 4) (x + 4)

示例2：将²分解为20a + 100?

解决方案：

This in the form of (a – b)² = a² – 2ab + b²

a² – 20a + 100 = a² – 2 * a * 10 + 10²

                        = (a – 10)²

                        = (a – 10) (a – 10)

示例3：分解25x ² – 49?

解决方案：

This in the form of  a² – b² = (a + b) (a – b)

25x² – 49 = (5x)² – 7²

               = (5x + 7) (5x – 7)

4.形式为(x + a)(x + b)的因数

在这种方法中，我们需要分解给定的表达式，使得(x + a)(x + b)= x ² +(a + b)x + ab。

范例：分解为m ² + 10m + 21?

解决方案：

This is in the form of (x + a) (x + b) = x² + (a + b)x + ab

Where x = m; (a + b) = 10; ab = 21;

On solving we get a = 3; b = 7;

On substitution we get 

m² + 10m + 21 = m² + (3 + 7)m + 3 * 7

                         = (m + 3)(m + 7)

代数表达式的除法

1.单项式除以单项式

范例1：将35abc除以5ab?

解决方案：

Convert each term into irreducable form

35abc = 5 * 7 * a * b * c

5ab = 5 * a * b

Normal division,

35abc / 5ab = 5 * 7 * a * b * c / 5 * a * b

                    = 7c

范例2：将14x ⁵除以2x ³ ?

解决方案：

14x⁵ = 2 * 7 * x * x * x * x * x 

2x³ = 2 * x * x * x

14x⁵ / 2x³ = 2 * 7 * x * x * x * x * x  / 2 * x * x * x

                = 7x²

2.用多项式除多项式

例如：将8x ⁴ – 16x ³ + 12x ² + 4x除以4x?

解决方案：

8x⁴ – 16x³ + 12x²  + 4x  /  4x  

=> 4x(2x³ – 4x² – 3x – 1) / 4x  (Taking 4x as common and dividing it with denominator)

=> 2x³ – 4x² – 3x – 1  

3.多项式除以多项式

示例：将16a ² + 8除以4a + 2?

解决方案：

16a² + 8 / 4a + 2

=> 4a(4a + 2) / (4a + 2) (here we took 4a common)

=> 4a