将除1以外的所有数组元素减少到0所需的对减量最大化

在某些情况下，需要将除1以外的所有数组元素减少到0，并尽可能地减小操作次数。这是一种常见的问题，可以用不同的算法来解决。

算法1: 贪心算法

贪心算法是一种基于贪心选择原则的算法，它尝试每一步选择最优的选择，从而达到全局最优解。在本例中，可以采用以下贪心原则：

• 将最大的数减1：由于需要将除1以外的所有元素减少到0，因此需要先减少最大的数。
• 如果有多个最大值，则选择最靠右的：这是为了最大化减量。
• 如果有多个相同的数，则可以任意选择一个。

下面是伪代码表示：

# nums为要处理的数组
result = 0
while (not all_zero(nums)):
  max_val = max(nums)
  max_index = find_last_index(nums, max_val)
  result += max_val
  for i in range(len(nums)):
    if i != max_index:
      nums[i] -= max_val

其中，find_last_index()函数用于查找最大值的最右位置。all_zero()函数用于检查数组是否全部为0。

这种算法的时间复杂度为$O(n^2)$，其中$n$是数组长度。它在处理较小的数组时效果很好，但在处理大型数组时可能会变得非常慢。

算法2: 动态规划

动态规划是一种解决多阶段决策过程中的最优化问题的算法。在本例中，可以用动态规划解决问题。令$dp[i]$表示将所有元素减少到$i$所需的最小操作次数。则有以下转移方程：

$$dp[i] = \min_{j=1}^{i-1}(dp[j]+i-j)+1$$

其中，$i \geq 2$，第一位必须是1，因此只需要考虑$2 \leq i \leq n$的情况。其中，$dp[j]+i-j$表示先将元素减少到$j$，然后再将所有元素减少到$i$所需的操作数。最后加上1是将$j$减少到$i$的那一步。

下面是伪代码表示：

# nums为要处理的数组
n = max(nums)
dp = [0]*(n+1)
for i in range(2, n+1):
  dp[i] = float('inf')
  for j in range(1, i):
    dp[i] = min(dp[i], dp[j]+i-j)
res = 0
for num in nums:
  res += dp[num]

该算法的时间复杂度为$O(n^2)$，其中$n$是数组的最大值。在处理较小的数组时效果很好，但在处理大型数组时可能会变得非常慢。

算法3: 数学方法

如果假设$K$是减去的次数，则有：

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n}(x_i-K) &= \sum_{i=1}^{n}x_i - nK \ &= n-K \end{aligned}$$

因此，为了最大限度地减少操作次数，我们应该尽可能减少$K$，即将$K$最小化。因此，我们可以首先加总数组，找出其和$S$。然后我们将$K$设为$max(S/n, x_{max})$，其中$x_{max}$是数组中的最大值。这样，我们可以最大限度地将$K$减少到最小值，同时保证所有元素都被减少到0。

下面是伪代码表示：

# nums为要处理的数组
S = sum(nums)
n = len(nums)
K = max(S//n, max(nums))
res = 0
for num in nums:
  res += num-K

该算法时间复杂度为$O(n)$。它是最快的算法之一，并且表现出色。