查找所有可能的子数组的按位与(&)介绍

简介

在这个问题中，我们需要找到给定数组中所有可能的子数组的按位与。按位与是指两个二进制数的每一位都为1时，结果为1，否则结果为0。

这个问题可以通过暴力枚举所有子数组进行按位与运算来解决，但是这种方法时间复杂度较高，不太实用。可以通过一些特殊的技巧来加速解决这个问题。

解决方案

方法一：去除无关位

我们可以先找到数组中所有数字的二进制表示中最高位的位置，记为mask。因为如果两个数字在最高位的左边有不同的位，那么它们的按位与结果的最高位肯定为0。因此我们只需要找到所有数字中二进制表示中从最高位开始的共同前缀，即大小为mask的范围内的所有数字的按位与结果，即为所求。具体实现如下：

def get_bitwise_and(nums: List[int]) -> int:
    # 找到所有数字的二进制表示中最高位的位置
    mask = 0
    for num in nums:
        mask |= num.bit_length() - 1
    
    # 找到从最高位开始的共同前缀，即大小为mask的范围内的所有数字的按位与结果
    res = nums[0]
    for num in nums[1:]:
        res &= num
        if res == 0:
            break
            
    return res

方法二：找规律

我们可以观察一下一些具体的例子，看看是否能够找到一些规律。

假设我们有数组[1, 2, 3, 4, 5]，二进制表示分别为[001, 010, 011, 100, 101]。

我们发现，按位与结果中从最高位开始，只有在所有数字相应位上都是1的情况下，结果对应位才是1，否则为0。

对于上述例子，我们可以发现，只有从最高位开始的2位都相同，即10，其他位无所谓。因此我们只需要取所有数字的从最高位开始的2位，将这些数字转换为十进制后进行按位与，即为所求。

实现如下：

def get_bitwise_and(nums: List[int]) -> int:
    res = 0
    for i in range(30, -1, -1):
        if sum(num >> i & 1 for num in nums) == len(nums):
            res |= 1 << i
            
    return res

总结

这个问题可以通过一些特殊的技巧来加速解决，但是在实际问题中可能需要根据具体情况选择最优的解决方案。