门| GATE 2017 MOCK II |问题 33

问题描述

给定一个n个数组成的集合S，你需要判断是否存在一个子集T，满足T的元素之和等于集合S中所有元素之和的一半。

示例

输入: S = {1, 5, 11, 5}

输出: true

解释: 子集T={1, 5, 5}，T的元素之和为1+5+5=11，集合S中所有元素之和为1+5+11+5=22，因此11等于22的一半。

思路

一个集合S能被分成等于其所有元素之和一半的两个子集的条件是：其所有元素之和必须为偶数。

我们可以先求出集合S的元素之和，然后将其除以2，再去寻找是否存在一个子集的元素之和等于此值即可。

用0和1表示当前元素是否在集合中，于是问题转化成了一个背包问题。

我们使用动态规划（DP）的思想解决该问题。

具体而言，我们定义一个bool型的二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表示在集合的前i个元素中是否存在一个子集的元素之和等于j。最终所求的结果即为dp[n][sum/2]。

转移方程为：

• dp[i][j]=true，当j=S[i]；
• dp[i][j]=dp[i-1][j]，当j<S[i]；
• dp[i][j]=dp[i-1][j] 或 dp[i-1][j-S[i]]，当j>S[i]。

代码

public class Solution {
    public boolean canPartition(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum += nums[i];
        }
        if (sum % 2 != 0) {
            return false;
        }
        boolean[][] dp = new boolean[n + 1][sum / 2 + 1];
        dp[0][0] = true;    // 初始化
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= sum / 2; j++) {
                if (j == nums[i - 1]) {
                    dp[i][j] = true;
                } else if (j > nums[i - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
                } else if (j < nums[i - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }
            }
        }
        return dp[n][sum / 2];
    }
}

复杂度

时间复杂度：O(n x sum)，其中n是集合S的元素个数，sum是集合S的元素之和。每个状态需要进行常数次判断和更新操作。

空间复杂度：O(n x sum)。需要一个二维数组来存储状态。