搜寻N的最小倍数

给定一个正整数N，我们要找到正好有N位二进制数字的最小倍数。也就是说，这个倍数的二进制表示中应该只包含N个数字。

算法思路

一个直接的思路是，从N开始，以N的步长不断递增，直到找到符合条件的倍数。但是，这种方法效率较低，不适用于大于10^15的数。

更高效的方法是使用数学和位运算。首先，考虑到在二进制中，N位数字的最小倍数一定是N个1组成的二进制数的倍数。例如，当N=3时，我们要找到一个3位数的倍数，它的二进制表示形式正好是3个数字。根据数学公式可以得到$$111_2 \times 3 = 1110_2$$ 我们再来看一下当N=4时，最小倍数是多少？答案是$$1111_2 \times 1 = 1111_2$$ 所以我们可以得出一个结论：当N个数字全部是1时，这个数字就是N位数字的最小倍数。

但是，有时N位数字中可能存在0，这时我们需要做一些调整。考虑到一个二进制数x的位运算，与操作可以清除二进制数的最后一位1，即 x &= x-1。所以，从x向下找，每次去掉最后一位1，直到找到比x大的一个N位数N'。当N'是N的倍数时，它就是符合条件的解。证明可以使用反证法得到。

代码实现

下面是Python代码的实现：

def smallest_multiple(n: int) -> int:
    x = int('1' * n, 2)
    while x % n != 0:
        x &= x-1
        x += int('1' * (n-x.bit_length()), 2)
    return x

这个函数的时间复杂度是O(NlogN)，可以快速处理大的N值。

结论

本文介绍了如何用高效的算法求解N个数字的二进制表示中，正好包含N个数字的最小倍数。这个方法使用了数学和位运算，时间复杂度为O(NlogN)，非常高效。这个算法也可以扩展到其他进制中，只需要将二进制的相关操作替换成相应的操作即可。