通过重复删除 K 个数组元素来最大化清空给定数组的成本

问题描述

给定一个由正整数构成的数组 nums 和一个正整数 K，你需要执行 K 次操作。

每一次操作的步骤如下：

• 从数组 nums 中选择一个非空子集并删除其中的所有元素。
• 接下来，你需要从删除的元素的和中收益。计算收益的公式为 sum(subset)^2，其中 subset 表示所选子集。

你需要最大化你的总收益。

思路解析

这是一道贪心算法的题目。

首先，将数组 nums 按照从大到小的顺序排序，这样就可以首先选择大的数。比如，我们先选择了最大的数，在进行第二次操作时，如果还需要删除一些数，那么删除的数在数组中一定不会比第一次删除的数要大，这样就可以让我们在每个操作中尽可能地减少收益的损失。

接下来，我们可以使用一个小根堆来存储数组 nums 中的数。每次需要删除数时，从堆顶开始弹出 k 个数，把这些数的和记为 sum，然后计算 sum^2 并加到结果 res 中。将 sum^2 减去每个被删除的数的平方后，再将余下的数重新压入小根堆中。

当堆为空时，说明数组已经被清空，输出 res 即可。

代码实现如下：

import heapq

def maximum_cost(nums: List[int], k: int) -> int:
    res = 0
    heap = [-num for num in nums]
    heapq.heapify(heap)
    
    while k > 0 and heap:
        k -= 1
        subset_sum = 0
        subset = []
        for i in range(min(len(heap), k+1)):
            num = -heapq.heappop(heap)
            subset_sum += num
            subset.append(num)
        res += subset_sum**2
        for num in subset:
            heapq.heappush(heap, -num**2)
    
    return res

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(k \log n)$，其中 n 是数组 nums 的长度。每次操作需要从堆中弹出 k 个数，堆的操作时间为 $O(\log n)$，因此总时间复杂度为 $O(k \log n)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。由于需要使用小根堆存储数组 nums 中的数，因此需要额外的 $O(n)$ 的空间。