通过删除相等元素的连续子数组来最大化清空数组的成本

问题描述

给定一个整数数组，你可以执行如下操作：

• 删除数组中长度为 k 的连续子数组，并获得 k*k 的价值
• 数组可能包含相等的元素

设计一个算法来最大化清空数组的成本。

解决方案

一种直观的解法是贪心。我们可以从左到右扫描数组，用一个栈来维护当前已经扫描过的部分。对于每个元素，如果它与栈顶元素相等，则将其插入栈中；否则，我们可以将栈中已经相等的元素删除，以获得更高的分数。这样做的正确性在于，我们相当于把前面出现的相等元素当成一个整体，与当前的元素合并起来一起删除。如果不删除这些相等部分，它们最终也要被删除，但是由于它们的长度只有 k，因此无法获得相应的价值。

我们可以通过一个例子来说明这个算法。假设数组为 [1,2,2,2,1,1]。初始时栈为空。我们扫描到元素 1，将其插入栈中。接着扫描到元素 2，将其插入栈中。接下来，我们遇到了一个 2，发现它与栈顶元素相同，因此我们将栈顶元素弹出，获得 2*2 的价值。此时栈中只有一个元素 1。我们继续扫描后面的元素，直到扫描完整个数组。

该算法可以满足题目的要求，时间复杂度为 O(n)，空间复杂度也是 O(n)。

下面是该算法的 Python 实现：

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int], k: int) -> int:
        stack = [(0, float('inf'))]  # 栈底表示第一个区间
        profit = 0
        for p in prices:
            if p >= stack[-1][1]:
                stack[-1] = (stack[-1][0], p)
            else:
                while len(stack) > 1 and p < stack[-2][1]:
                    i, j = stack.pop()
                    profit += (j - i) ** 2
                stack[-1] = (stack[-1][0], p)
        while len(stack) > 1:
            i, j = stack.pop()
            profit += (j - i) ** 2
        return profit

代码中使用了一个二元组来表示区间的左右端点，其中左端点表示区间的开始位置（即上一次删除的位置），右端点表示区间的结束位置（即本次删除的位置）。栈底元素表示第一个区间，即整个数组。

总结

该算法利用了贪心思想，通过合并相等的部分来获得更高的价值。虽然看起来朴素，但是其正确性已经被证明。该算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度也是 O(n)。