最小repunit中的个数

简介

最小repunit是指全由1组成而不含其他数字的正整数。例如，11111就是一个最小repunit，而12、121、101等都不是。

最小repunit中的个数指的是找到一个最小的正整数n，使得n是最小repunit的倍数，并且最小repunit的个数是n包含的1的个数。

解题思路

我们知道，一个k位的repunit最小是$10^{k-1}+1$，最多有k个1。因此，我们可以枚举最小repunit中1的个数，找到能被该repunit整除的最小正整数n。具体来讲，我们可以从1开始枚举最小repunit中1的个数m，然后将形如111...111(m个1)的最小repunit除以m，找到最小正整数n使得该repunit能被n整除。

可以证明，当m大于最小正整数n的位数时，n不可能是最小的满足条件的正整数。因此，我们可以只枚举m小于等于n的位数的情况。如果找不到符合条件的n，就继续增加m的值，直到找到为止。

代码实现

以下是Python代码实现的示例：

def find_smallest_n(num_of_ones):
    m = num_of_ones
    while True:
        repunit = int("1" * m)
        if repunit % n == 0:
            return repunit // n
        if m > len(str(n)):
            return None
        m += 1

n = int(input("请输入正整数n："))
for i in range(1, n+1):
    smallest_n = find_smallest_n(i)
    if smallest_n is not None:
        print(f"最小repunit中的个数为{i}时，最小的正整数n为{smallest_n}")
        break

以上代码实现了一个简单的求解最小repunit中的个数的程序。我们可以通过输入正整数n，然后枚举最小repunit中1的个数，找到最小正整数n使得该repunit能被n整除。最后输出符合条件的最小正整数n以及最小repunit中1的个数。