通过从给定的N对中选择N个数获得的最小和

问题概述

给定 $n$ 个有序数组 $a_1,a_2,...,a_n$，每个数组中均有 $m$ 个数，求从这 $n×m$ 个数中选择 $n$ 个数的和的最小值。

方法分析

解法一：暴力枚举

一种朴素的思路是枚举每个数组中选择的数的下标，然后计算目标和的值，最后取最小值。时间复杂度为 $O(m^n)$，当 $n$ 很大时，该方法的效率非常低下。

解法二：堆优化

由于每个数组都是有序的，我们可以维护一个大小为 $n$ 的小根堆 $h$，并将 $n$ 个数组的第一个元素加入堆中。每次从堆中弹出堆顶元素 $x$，然后将 $x$ 在其原数组里的下一个元素加入堆中。重复执行这个过程，直到从堆中取出 $n$ 个数为止。时间复杂度为 $O(nmlogn)$。

解法三：动态规划

我们可以定义一个状态 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个数组选了 $j$ 个数的最小和。最终答案即为 $f[n][n]$。

可以根据状态转移方程 $f[i][j] = \min\limits_{k=0}^{min(j, m)} f[i-1][j-k] + \sum\limits_{l=k}^{m} a[i][l]$ 来进行动态规划求解。其中 $f[i-1][j-k]$ 表示前 $i-1$ 个数组选了 $j-k$ 个数，$\sum\limits_{l=k}^{m} a[i][l]$ 表示选了第 $i$ 个数组里的 $k$ 个数。时间复杂度为 $O(n^2m^2)$，需要进行优化。

可以发现，状态转移方程中的前缀和可以用 $O(nm)$ 的时间进行预处理，这样就能将时间复杂度降低到 $O(n^2m)$。

总结

以上三种方法中，动态规划的效率是最好的。对于需要快速求解大规模问题的情况，可以采用动态规划方法。如果数据规模比较小，可以使用堆优化的方法。暴力枚举方法效率低，只适用于数据规模非常小的情况。