找到 K 使得 K 和每个 Array 元素之间的汉明距离之和最小化

什么是汉明距离

汉明距离是两个等长字符串在对应位置上不同字符的个数，等同于将一个字符串变换成另外一个字符串所需要替换的字符个数。比如，字符串 "11101" 和 "01111" 之间的汉明距离是 2，因为它们在第 2 和第 4 个位置上不同。

问题描述

给定一个由 n 个 0 和 1 组成的数组，找到一个整数 K，使得数组中每个元素和 K 之间的汉明距离之和最小化。需要实现一个函数，函数签名如下：

def min_hamming_distance(nums: List[int], k: int) -> int:
    pass

输入参数

• nums：长度为 n 的 0/1 数组。
• k：要求的整数。

输出

整数，表示数组中每个元素和 K 之间的汉明距离之和的最小值。

解法

暴力解法

最简单的方法是暴力枚举 K，计算与每个元素之间的汉明距离，取最小值。时间复杂度为 $O(n^2\log m)$，其中 m 是 K 的最大值。

def min_hamming_distance(nums, k):
    n = len(nums)
    res = float('inf')
    for i in range(2**n):
        sum_ = 0
        for j in range(n):
            if (i >> j) & 1:
                sum_ += 1 if nums[j] == 0 else 0
            else:
                sum_ += 1 if nums[j] == 1 else 0
        res = min(res, sum_)
    return res

位运算

对于一个数字 K 和一个二进制数 num，它们之间的汉明距离可以用位运算轻松计算，具体方法是：

1. 对 num 每一位依次执行异或运算。
2. 来自 K 的位数通过位运算分别挑出。

具体代码如下：

def hamming_distance(k, num):
    res = k ^ num
    count = 0
    while res:
        count += res & 1
        res >>= 1
    return count

位运算统计汉明距离

对于一个固定的 K，对于数组中的任意一个元素，我们需要计算它和 K 之间的汉明距离。可以通过对每个数字按位运算来完成。

我们可以通过遍历每个数字的每一位，并将不同位的计数加起来，即可将汉明距离累加到最终结果中。

def min_hamming_distance(nums, k):
    n = len(nums)
    res = float('inf')
    cnt = [0] * 32
    for num in nums:
        for i in range(32):
            cnt[i] += (num >> i) & 1
    for i in range(32):
        res = min(res, cnt[i] * 2 - n)
    return res

总结

本文介绍了如何找到 K 使得 K 和每个 Array 元素之间的汉明距离之和最小化。从暴力枚举到优化的位运算方法，可以适应不同的数据规模需求。