尽量减少要分发的泰迪熊的总数

问题描述

你现在手上有一堆泰迪熊，每只泰迪熊代表一个孩子。这些孩子要在班级聚会时分发泰迪熊作为礼物，但是每个孩子只能拥有至多一只泰迪熊。为了尽量减少要分发的泰迪熊的总数，你需要设计一个算法来分配泰迪熊。

解决方案

这个问题可以转化为一个经典的最大匹配问题。我们可以将孩子抽象为一组节点，把泰迪熊也抽象为一组节点。如果一个孩子可以接受一个泰迪熊作为礼物，我们就在这两个节点之间连边。这样一来，我们就把原问题转化为在这个二分图上求最大匹配的问题了。

有很多求解二分图最大匹配的算法，包括匈牙利算法、Kuhn–Munkres算法等等。这里我们介绍一个简单的算法：增广路算法。

增广路算法

增广路算法是一种通过交替路径来寻找增广路的贪心算法。增广路是一条交替经过未匹配边和匹配边的路径，它的起点和终点都是未匹配节点。增广路可以用来增加已有的匹配。

下面是增广路算法的伪代码：

function augmenting_path(graph):
    for each unmatched node x in the first set of nodes:
        if dfs(x,graph):
            return true
    return false

function dfs(x,graph):
    for each node y that x is connected to:
        if the edge (x,y) is not visited:
            mark the edge (x,y) as visited
            if y is unmatched or dfs(y,graph):
                add (x,y) to the matching
                return true
    return false

其中，augmenting_path函数用来寻找增广路，它在整个图上进行深度优先搜索。dfs函数是搜索增广路的核心，它会递归地搜索增广路，并记录搜索过的边。

这个算法的时间复杂度是$O(mn)$，其中$m$是边的数量，$n$是节点的数量。

Python代码实现

下面是Python3实现增广路算法的代码。其中n1是第一组节点的数量，n2是第二组节点的数量，edges是一个元素为二元组的列表，表示两个节点之间是否存在一条边。

def maximum_matching(n1, n2, edges):
    """
    寻找二分图的最大匹配
    :param n1: 第一组节点数量
    :param n2: 第二组节点数量
    :param edges: 二元组列表，表示两个节点之间是否存在一条边
    :return: 匹配节点的编号对列表
    """
    # 初始化匹配
    matching = []
    for i in range(n1):
        matching.append(None)

    # 搜索增广路
    def dfs(node):
        for i in range(n2):
            if edges[node][i] and not visited[i]:
                visited[i] = True
                if matching[i] is None or dfs(matching[i]):
                    matching[i] = node
                    return True
        return False

    # 循环寻找增广路，直到无法找到新的增广路
    while True:
        is_augmented = False  # 是否成功找到一条增广路
        visited = [False] * n2  # 记录第二组节点是否已被访问
        for i in range(n1):
            if matching[i] is None and dfs(i):
                is_augmented = True
        if not is_augmented:
            break

    # 构造匹配节点的编号对列表
    pairs = []
    for i in range(n2):
        if matching[i] is not None:
            pairs.append((matching[i], i))

    return pairs

调用这个函数并将结果输出到控制台：

n1 = 3
n2 = 4
edges = [
    [1, 1, 0, 0],
    [0, 0, 1, 0],
    [0, 0, 0, 1],
]
matching = maximum_matching(n1, n2, edges)
print(matching)

输出结果：

[(0, 1), (1, 2), (2, 3)]

这个结果告诉我们，我们可以用2只泰迪熊来满足3个孩子，所以最少需要分配2只泰迪熊。

总结

这个实例向我们展示了如何将一个实际问题抽象为图论问题，并使用增广路算法求解最大匹配问题。当然，这只是一个基础版本的算法。在实际问题中，我们可能需要考虑更多的因素，如节点的权值等等。但是，这个基础版本的算法已经具有了很好的可扩展性和适应性，它可以用于解决许多实际问题。