大小为 K 的子数组中存在的最大完全数数

介绍

在给定的数组中，寻找大小为 K 的子数组中存在的最大完全数数。完全数是指它等于它的所有因数之和。

解法

我们可以使用滑动窗口的方式进行解决。在每个窗口内，我们可以使用一个哈希表来记录窗口内每个数的因数之和，然后再遍历一遍哈希表，统计完全数的个数，取最大值。

代码如下：

def max_complete_nums(arr, k):
    """
    寻找大小为 k 的子数组中存在的最大完全数数
    :param arr: 给定的数组
    :param k: 子数组大小
    :return: 子数组中最大完全数数
    """
    def sum_of_divisors(num):
        """
        计算一个数的所有因数之和
        :param num: 给定的数
        :return: 因数之和
        """
        res = 0
        for i in range(1, int(num**0.5)+1):
            if num % i == 0:
                res += i
                if i != num // i:
                    res += num // i
        return res - num

    window = {}
    for i in range(k):
        window[arr[i]] = sum_of_divisors(arr[i])

    max_complete = 0
    for num, divisor_sum in window.items():
        if divisor_sum == num + 1:
            max_complete += 1

    res = max_complete
    for i in range(k, len(arr)):
        window[arr[i-k]] -= sum_of_divisors(arr[i-k])
        window[arr[i]] = sum_of_divisors(arr[i])
        
        if window[arr[i-k]] == arr[i-k] + 1:
            max_complete -= 1
        if window[arr[i]] == arr[i] + 1:
            max_complete += 1
            
        res = max(res, max_complete)
        
    return res

性能分析

该算法的时间复杂度为 $O(N \sqrt{N})$，其中 $N$ 是数组的长度，因为我们需要遍历每个数，每个数需要计算其因数之和，而计算因数之和的时间复杂度为 $O(\sqrt{n})$。空间复杂度为 $O(k)$，因为我们需要维护一个大小为 $k$ 的哈希表。

在实际使用中，我们可以事先计算出每个数的因数之和，然后在程序中直接查表，从而减少计算量，同时也可以避免重复计算。这样可以大大提高算法的效率。