二维中点和线之间的垂直距离

在二维平面中，当给定一条直线和该直线上的一点时，我们可能需要求出该点到该直线的垂直距离。本文将介绍基于二维中点和线的垂直距离计算方法。

问题描述

假设给定一个二维平面上的直线，该直线的两个端点分别为 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，且这条直线不与坐标轴平行或垂直。同时，给定在该直线上的一点 $(x_0, y_0)$，求点 $(x_0, y_0)$ 到该直线的垂直距离。

解决方案

我们可以根据中点定理得到该点 $(x_0, y_0)$ 到直线的垂直距离，如下图所示：

我们可以先计算该直线的中点 $M((x_1 + x_2)/2, (y_1 + y_2)/2)$，以及该直线的斜率 $k = (y_1 - y_2) / (x_1 - x_2)$。由此得到直线的解析式：

$$y - y_1 = k(x - x_1)$$

然后，从点 $(x_0, y_0)$ 到直线的垂足点的连线所在直线的斜率 $k'$ 可以通过该连线与直线 $y = kx + b$ 的斜率 $k$ 和垂线斜率 $k_\perp = - 1 / k$ 的关系计算得到：

$$k' = -1 / k$$

垂足点的坐标为 $(x_p, y_p)$。则不难得到垂足点坐标的解析式：

$$x_p = \frac{x_0+k'\cdot y_0+(k-k')\cdot x_1}{2\cdot(k-k')}$$

$$y_p = k \cdot (x_p - x_1) + y_1$$

最后，通过求解点 $(x_p, y_p)$ 与点 $(x_0, y_0)$ 之间的欧几里得距离即可得出点 $(x_0, y_0)$ 到直线的垂直距离。

代码实现

下面是一个用 Python 语言实现上述算法的代码片段：

import math

def perpendicular_distance(x1, y1, x2, y2, x0, y0):
    mp_x = (x1 + x2) / 2
    mp_y = (y1 + y2) / 2
    k = (y1 - y2) / (x1 - x2)
    kp = -1 / k
    xp = (x0 + kp * y0 + (k - kp) * x1) / (2 * (k - kp))
    yp = k * (xp - x1) + y1
    return math.sqrt((xp - x0) ** 2 + (yp - y0) ** 2)

总结

本文介绍了基于二维中点和线的垂直距离计算方法，该方法的核心思想是求点到直线的垂足，然后通过欧几里得距离公式求得两点之间的距离。该算法的时间复杂度是 $O(1)$，适用于求解点到直线的垂直距离等问题。