计算范围中一对的最大XOR值

简介

在计算机算法中，XOR（异或）是一种二进制运算符，常用于比较两个二进制数的相同位，结果为 0 表示相同，结果为 1 表示不同。XOR 运算可以应用到许多问题中，其中一个常见的问题是：给定一个数字范围，找到其中一对数字的最大 XOR 值。

解决方案

首先需要明确一个概念，即异或运算的性质：a ^ b = c，则 a ^ c = b，b ^ c = a。这个性质非常重要，因为它允许我们比较任意两个数字的 XOR 值，甚至可以在一个已知数字和一个未知数字之间计算 XOR。

有了这个性质，我们就可以通过遍历数字范围，对每对数字计算其 XOR 值，并比较其大小，最后返回最大值。以下是 Python 代码片段：

def find_max_xor(l: int, r: int) -> int:
    max_xor = 0
    for i in range(l, r+1):
        for j in range(i, r+1):
            xor_val = i ^ j
            if xor_val > max_xor:
                max_xor = xor_val
    return max_xor

但是，这个算法的时间复杂度是 O(n^2)，如果范围太大，计算量就会非常大。因此，可以采用更高效的方法——使用字典树（Trie）。

字典树可以有效地存储数字的二进制表示，并提供一种方便的方式来比较两个数字的 XOR 值。例如，将数字 5 和 8 表示为二进制时，其分别为 101 和 1000。如果将这两个二进制数插入到一个 Trie 中，将得到以下的数据结构：

     1    ->     0   ->    1
             /        \
            0           0
           /             \
          1               0

其中，从根节点到每个叶节点都对应了一个二进制数。对于任意两个数字 a 和 b，可以通过其二进制表示在 Trie 中查找一个最长的不同路径，即每次选择不同的分支，最后得到的节点即为 XOR 值的最高位。然后，可以从该节点开始向下继续遍历 Trie，直到遍历完整个树，即得到了两个数字 a 和 b 的 XOR 值。

以下是使用字典树的 Python 代码片段：

class Trie:
    def __init__(self):
        self.root = {}

    def insert(self, num: int) -> None:
        node = self.root
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if bit not in node:
                node[bit] = {}
            node = node[bit]

    def find_max_xor(self, num: int) -> int:
        node, xor_val = self.root, 0
        for i in range(31, -1, -1):
            bit = (num >> i) & 1
            if 1 - bit in node:
                node = node[1 - bit]
                xor_val += 1 << i
            else:
                node = node[bit]
        return xor_val

def find_max_xor(l: int, r: int) -> int:
    max_xor, trie = 0, Trie()
    for num in range(l, r+1):
        trie.insert(num)
        max_xor = max(max_xor, trie.find_max_xor(num))
    return max_xor

Trie 的插入和查找操作的时间复杂度均为 O(k)，其中 k 为数字的二进制位数。因此，该算法的时间复杂度为 O(nk)，相比暴力算法已经得到了很大的提升。

总结

计算范围中一对的最大 XOR 值是一个经典的计算机算法问题，可以通过暴力枚举和使用字典树两种方法来解决。使用字典树的方法时间复杂度比暴力算法更低，效率更高，是一个非常优秀的解决方案。