数组中一对的最大AND值

在计算机科学中， AND 是一种位运算符，它会返回两个操作数中的每个位的逻辑 AND 的结果。在本题中，我们要在一个数组中找到一对元素，并返回它们的最大 AND 值。

问题描述

给定一个非空整数数组，找到由数组中两个元素组成的最大 AND 值，并返回这个最大值。

例如：对于数组 [3, 5, 2, 4]，其中一对最大 AND 值为 3 AND 5 = 1。

解决方案

一种朴素的解决方法是，枚举所有的元素对，并计算它们的 AND 值。这种方法的时间复杂度为 O(n^2)。

更高效的解决方法是，利用位运算的性质。假设我们已经找到了最大的 AND 值为 x，那么对于任意的 y > x，y 与 x 的二进制表示必定有至少一位不同。我们可以利用这个性质，从高位到低位进行考虑。从最高位开始，将数组中的所有元素的该位取出来，将其构成一个新的数组。如果这个新的数组中包含至少两个元素，那么在下一轮考虑中，我们只需要考虑这两个元素。否则，我们可以直接跳过这一位。

在实现时，我们可以使用一个 hash 表，记录每个数在每一位上出现的次数。每处理完一位，就更新 hash 表和当前的 AND 值。具体实现请参见下面的代码：

def maxAnd(arr):
    """
    :type arr: List[int]
    :rtype: int
    """
    res = 0
    for i in range(30, -1, -1):
        # 统计每个数在第 i 位上出现的次数
        count = {}
        for x in arr:
            t = (x >> i) & 1
            if t in count:
                count[t] += 1
            else:
                count[t] = 1
        # 计算当前 AND 值和最大 AND 值
        cur = res | (1 << i)
        for x in arr:
            t = (x >> i) & 1
            if count[t] == 1:
                continue
            if x & cur > res:
                res = x & cur
    return res

总结

本题是一道比较典型的位运算问题。通过掌握位运算的基本知识和技巧，我们可以更加自如地解决各种各样的算法问题。