最短路径问题

最短路径问题是图论领域中研究的一个经典问题，也是计算机科学中的重要问题之一。该问题是要在加权图中找到一条从起点到终点的经过各个顶点的权值和最小的路径。

在本文中，我们将介绍一个最短路径问题的变种——从源单元格到仅由1组成的单元格的二进制矩阵的目标单元格的最短路径。

问题描述

我们有一个二维的01矩阵，其中0表示可以通过，1表示障碍物。对于从源单元格到目标单元格的所有路径中，找到长度最短的一条，确保该路径仅通过可以通过的单元格，并且终点是仅由1组成的单元格。您可以假定起点和终点均为可以通过的单元格。

例如，给定以下二进制矩阵：

0 0 0 0 0
1 0 0 0 1
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1
0 0 0 0 0

则从坐标(0, 0)的单元格开始，到最终仅由1组成的单元格(4, 4)的最短路径为:

(0, 0) -> (1, 0) -> (1, 1) -> (1, 2) -> (2, 2) -> (2, 3) -> (3, 3) -> (4, 3) -> (4, 4)

相应的路径长度为8。

解决方案

这个问题可以通过常见的最短路径算法来解决，例如Dijkstra算法或A*算法。

我们可以将二维矩阵看作一个图，其中单元格为图中的节点，相邻的单元格为节点之间的边。对于每个可以通过的单元格，我们将其作为图中的一个节点，并将其与其相邻的可以通过的单元格相连。

然后，我们可以使用最短路径算法来查找从源单元格到目标单元格的最短路径。在选择相邻节点时，我们需要注意只选择可以通过的单元格，并且当相邻节点为终点时我们需要停止搜索。

具体实现可参考以下代码：

def shortestPath(grid: List[List[int]]) -> int:
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    queue = deque([(0, 0, 0)])  # 存储待处理的节点，每个节点是一个三元组(x, y, step)

    while queue:
        x, y, step = queue.popleft()

        if grid[x][y] == 1:  # 终点为仅由1组成的单元格
            return step

        grid[x][y] = -1  # 将已访问的节点标记为-1

        for dx, dy in [(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)]:  # 筛选出所有可以访问的邻居
            nx, ny = x + dx, y + dy
            if 0 <= nx < m and 0 <= ny < n and grid[nx][ny] in (0, 1):
                queue.append((nx, ny, step + 1))

    return -1  # 无解的情况

时间复杂度

该算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别为输入矩阵的行数和列数。因为我们至少需要访问每个单元格一次来找到最短路径，所以时间复杂度不能更优。

空间复杂度

该算法空间复杂度为O(mn)，即为存储待处理节点的队列的最大长度。由于我们最多只需要存储矩阵中所有的单元格，所以空间复杂度也是最优的。

总结

最短路径问题是计算机科学中经典问题之一。在本文中，我们介绍了一个最短路径问题的变种，并给出了解决该问题的算法。该算法的时间和空间复杂度均为最优，可以在实际应用中得到广泛使用。